若尔当标准型求法

科技前沿 • 2025-01-18 15:07 • 阅读 41

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若尔当（约当/约旦）标准型的求解方法：

方法一：初等变换法

例：求矩阵 $A=\begin{bmatrix} -1 & -2 &6 \\ -1& 0 & 3\\ -1& -1 &4 \end{bmatrix}$
讯享网的若尔当标准型。

STEP1：求 $\lambda E-A$ 的初等因子

$\lambda E-A=\begin{bmatrix} \lambda +1 & 2 &-6 \\ 1 & \lambda &-3 \\ 1&1 & \lambda -4 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& \lambda -1 &0 \\ 0&0 & \left ( \lambda -1 \right )^{2} \end{bmatrix}$

注：定理指出，矩阵的特征矩阵（ ${\color{Red} {\color{Red} }\lambda E-A}$ ）一定可以通过初等变换化为上述标准型，称为 ${\color{Red} \lambda}$ 矩阵的标准型。

初等因子： ${\color{Red} \lambda}$ 矩阵的标准型对角线上次数大于0且首项为1的一次方幂。

本例题中，初等因子为 $\lambda -1$ ， $\left ( \lambda -1 \right )^{2}$ 。

注：虽然上述两个初等因子对应的特征值相同，但是代表两个不同的若尔当块。

STEP2：写出每个初等因子对应的若尔当块

初等因子对应的特征值为对应若尔当块对角线元素，初等因子的阶数为对应若尔当块的阶数。

$\lambda -1$ 对应的若尔当块为： $J_{1}=\left [ 1 \right ]$ ；

$\left ( \lambda -1 \right )^{2}$ 对应的若尔当块为： $J2=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 0& 1 \end{bmatrix}$

STEP3：写出若尔当标准型

$J=\begin{bmatrix} J_{1} &0 \\ 0& J_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1 &1 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}$

${\color{Red} J_{1}}$ 与 ${\color{Red} J_{2}}$ 的顺序可以变，但一般按照初等因子的顺序。

方法二：求特征值法

例：求矩阵 $A=\begin{bmatrix} -1 & -2 &6 \\ -1& 0 & 3\\ -1& -1 &4 \end{bmatrix}$ 的若尔当标准型。

STEP1：求矩阵的特征值

令 $det(\lambda I-A)=0$ ，解得 $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=1$ ；

STEP2：求每个特征值的几何重数（相同特征值求一次即可）

几何重数：代表该特征值对应的若尔当块的个数；几何重数=特征矩阵的列数-rank(特征矩阵)。

本题中： $\lambda =1$ 对应的几何重数= $3-rank(A-\lambda_{1}I)$ =3-1=2。

STEP3：求每个特征值对应的若尔当块的最大阶数

设每个特征值对应的若尔当块的最大阶数为 ${\color{Red} k_{i}}$ ，则 ${\color{Red} k_{i}}$ 为使 ${\color{Red} rank[(A-\lambda _{i})^{k_{i}}]=rank[(A-\lambda _{i})^{k_{i+1}}]}$ 成立的最小正整数。

引用https://blog.csdn.net/xuehuafeiwu123/article/details/

本题中，由于 $\left ( A-I \right )^{2}$ 为零矩阵，所以k=2，即 $\lambda =1$ 对应的若尔当块的最大阶数为2，所以 $\lambda =1$ 有两个若尔当块，一个一阶的，一个二阶的，即：

$J_{1}=\left [ 1 \right ]$

$J2=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 0& 1 \end{bmatrix}$

STEP4：写出若尔当标准型

$J=\begin{bmatrix} J_{1} &0 \\ 0& J_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1 &1 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}$

${\color{Red} J_{1}}$ 与 ${\color{Red} J_{2}}$ 的顺序可以变。

方法三：求Q矩阵（特征值均互异可用）

STEP1：求矩阵的特征值

STEP2：求矩阵的特征值对应的特征向量p1,p2,p3

STEP3：由特征向量组成Q矩阵

STEP4：求J

J=Q-1*A*Q

参考文献

[1]王萼芳，石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2013:342-348.

若尔当标准型求法

若尔当（约当/约旦）标准型的求解方法：

方法一：初等变换法

方法二：求特征值法

方法三：求Q矩阵（特征值均互异可用）

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