【差异分析】秩和分析

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简介： 秩和检验方法最早是由维尔克松(Wilcoxon)提出，叫维尔克松两样本检验法。后来曼—惠特尼将其应用到两样本容量不等(n1不等于n2)的情况，因而又称为曼—惠特尼U检验。这种方法主要用于比较两个独立样本的差异。秩和检验（rank sum test）又称顺序和检验，它是一种非参数检验（nonparametric test）。它不依赖于总体分布的具体形式，应用时可以不考虑被研究对象为何种分布以及分布是否以知，因而实用性较强。

假设中的等价问题

设有两个连续型总体, 它们的概率密度函数分别为： $f 1 (x), f 2 (x)$ ，已知 $f 1 (x) = f 2 (x - a)$ ，a为未知常数，要检验的各假设为：

$H_0:a=0,H_1:a<0; H_0:a=0,H_1:a>0; H_0:a=0,H_1:a<>0$

设两个总体的均值分别为 $μ_1,μ_2$ ，由于 $f_1,f_2$ 差了一个平移，所以 $μ_2=μ_1-a$ 。此时上述各假设分别等价于：

$H_0:μ_1 = μ_2,H_1:μ_1 < μ_2; H_0:μ_1 = μ_2,H_1:μ_1 > μ_2; H_0:μ_1 = μ_2,H_1:μ_1<>μ_2$

秩的定义

设X为一总体，将容量为n的样本观察值按自小到大的次序编号排列成 $x_1 < x_2 < ... < x_n$ ,称 $x_i$ 的下标i为 $x_i$ 的秩，i = 1,2,…,n。

例如： 某旅行团人员的行李重量数据如下：

重量（kg） 34 39 41 28 33

写出重量33的秩。

因为28<33<34<39<41，故33的秩为2。

特殊情况：

如果在排列大小时出现了相同大小的观察值, 则其秩的定义为足标的平均值。

例如: 抽得的样本观察值按次序排成0,1,1,1,2,3,3,

则3个1的秩均为(2+3+4)/3=3.两个3的秩均为(6+7)/2=6.5.

秩和的定义

现设1，2两总体分别抽取容量为n1,n2的样本，且设两样本独立。这里总假定 n1<>n2。

我们将这n1 + n2个观察值放在一起，按自小到大的次序排列，求出每个观察值的秩，然后将属于第1个总体的样本观察值的秩相加，其和记为R1，称为第1样本的秩和，其余观察值的秩的总和记作R2，称为第2样本的秩和。

显然，R1和R2是离散型随机变量，且有R1+R2=( (n1+n2)(n1+n2+1) )/2.

秩和检验法的定义

秩和检验是一种非参数检验法, 它是一种用样本秩来代替样本值的检验法。

用秩和检验可以检验两个总体的分布函数是否相等的问题

秩和检验的适用范围

如果两个样本来自两个独立的但非正态或形态不清的两总体，要检验两样本之间的差异是否显著，不应运用参数检验中的T检验，而需采用秩和检验。

秩和检验的方法

两个样本的容量均小于10的检验方法

检验的具体步骤：

第一步：将两个样本数据混合并由小到大进行等级排列（最小的数据秩次编为1，最大的数据秩次编为n1 + n2）。

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第二步：把容量较小的样本中各数据的等级相加，即秩和，用T表示。

第三步：把T值与秩和检验表中某α显著性水平下的临界值相比较，如果T1 < T < T2，则两样本差异不显著；如果T<>T1或T>=T2, 则表明两样本差异显著。

例：某年级随机抽取6名男生和8名女生的英语考试成绩如表1所示。问该年级男女生的英语成绩是否存在显著差异？

男	92 78 94 88 76 87
女	69 52 86 80 47 63 76 82
男秩次	13 7 14 12 5.5 11
女秩次	4 2 10 8 1 3 5. 5 9

建立假设：
H0：男女生的英语成绩不存在显著差异；

H1：男女生的英语成绩存在显著差异。
编排秩次，求最小样本的秩和，本数据中是男秩次：
T = 13 + 7 + 14 + 12 + 5.5 + 11= 62.5
统计推断：根据n1 = 6,n2 = 8,α = 0.05，查秩和检验表，T的上、下限分别为T1 = 29,T2 = 61，有T > T2，结论是：男女生的英语成绩存在显著差异。

两个样本的容量均大于10的检验方法

当两个样本容量都大于10时，秩和T的分布接近于正态分布，因此可以用Z检验，其基本公式为： $Z=\frac{T-\frac{n_1(n_1+n_2+1)}{2}}{\sqrt{\frac{n_1*n_2(n_1+n_2+1)}{12}}}$

例: 某校演讲比赛后随即抽出两组学生的比赛成绩如表2，问两组成绩是否有显著差异？

列一	成绩
一组	74 68 86 90 75 78 81 72 64 76 79 77
二组	80 77 69 86 76 91 66 73 65 78 81 82 92 93
一组秩次	8 4 21.5 23 9 14.5 18.5 6 1 10.5 16 12.5
二组秩次	17 12.5 5 21.5 10.5 24 3 7 2 14.5 18.5 20 25 26

解：检验步骤：

建立假设：
H0：两组成绩不存在显著差异;

H1：两组成绩存在显著差异。
编排秩次，求秩和：
n1 = 12, n2 = 14, T = 144.5，代入公式，有：

$Z=\frac{T-\frac{n_{1}\left(n_{1}+n_{2}+1\right)}{2}}{\sqrt{\frac{n_{1} \times n_{2}\left(n_{1}+n_{2}+1\right)}{12}}}=\frac{144.5-\frac{12(12+14+1)}{2}}{\sqrt{\frac{12 \times 14(12+14+1)}{12}}}=\frac{144.5-162}{19.44}=-0.90$

统计推断：
因为|Z|<1.96，则应保留虚无假设，拒绝备择假设。

结论是：两组的演讲比赛成绩不存在显著差异。