单源负权值最短路径问题--bellman_ford算法

科技前沿 • 2025-03-26 13:59 • 阅读 43

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应用场景：

应用于解决单源带有负权值的最短路问题，可能会有负环的出现。

可以解决题目规定最多访问k条边的情形，具有一定的实际意义。

问题描述

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。

请你求出从 1 号点到 n 号点的最多经过 k 条边的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，输出 impossible。

注意：图中可能 存在负权回路 。

输入格式

第一行包含三个整数 n,m,k。

接下来 m 行，每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

点的编号为 1∼n。

输出格式

讯享网

输出一个整数，表示从 1 号点到 n 号点的最多经过 k 条边的最短距离。

如果不存在满足条件的路径，则输出 impossible。

数据范围

1≤n,k≤500,
1≤m≤10000,
1≤x,y≤n，
任意边长的绝对值不超过10000。

输入样例：

3 3 1 1 2 1 2 3 1 1 3 3

讯享网

输出样例：

讯享网3

思路分析：

bellman-ford算法的核心思路就是两重循环的迭代，第一重循环规定了能最多访问边的数目；第二重循环是用来遍历所有的边，用来更新距离。

在这里要注意需要备份dist数组，防止出现串联现象，使用刚更新过的节点dist更新了后面的节点。

实现代码：

#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; //N为点的数目 M为边的数目 const int N =510,M = 10010; //dist用来存储到源点的最小距离 backup用来迭代时备份 防止串联现象对结果造成影响 int dist[N],backup[N]; int n,m,k; //bellman-ford算法中无需使用邻接表或邻接矩阵存储 使用结构体简单存储即可 struct Edge{ int a; int b; int w; }Edges[M]; //核心代码 int bellman_ford(){ //初始化 memset(dist,0x3f,sizeof(dist)); dist[1] = 0; //迭代k次 k为题目中规定的最多经过的边数 for(int i =0;i<k;i++){ //备份上一次的dist数组 memcpy(backup,dist,sizeof(dist)); //遍历所有的边 for(int j=0;j<m;j++){ int a = Edges[j].a, b = Edges[j].b, w = Edges[j].w; //使用backup:避免给a更新后立马更新b, 这样b一次性最短路径就多了两条边出来 dist[b] = min(dist[b],backup[a]+w); } } //返回最后的结果 return dist[n]; } int main(){ cin>>n>>m>>k; for(int i=0;i<m;i++){ int a,b,c; cin>>a>>b>>c; Edges[i] = {a,b,c}; } auto res = bellman_ford(); //这里使用0x3f3f3f3f/2 是因为需要判断是否不存在路径 但不使用0x3f3f3f3f的原因： //如果在终点之前的点已经与源点之间没有连通路径 但此点与终点有负的值 //会更新终点到源点的距离不再是0x3f3f3f3f if(dist[n]>0x3f3f3f3f/2) cout<<"impossible"<<endl; else cout<<res<<endl; return 0; }

单源负权值最短路径问题--bellman_ford算法

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思路分析：

实现代码：

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