题目链接

一个无向图中有N个顶点,若所有顶点的度数大于等于N/2,则哈密顿回路一定存在.(N/2指的是⌈N/2⌉,向上取整)，用
讯享网

——这就是Dirac定理。

在Dirac定理的前提下构造哈密顿回路

过程:

　　1:任意找两个相邻的节点S和T,在其基础上扩展出一条尽量长的没有重复结点的路径.即如果S与结点v相邻,而且v不在路径S -> T上,则可以把该路径变成v -> S -> T,然后v成为新的S.从S和T分别向两头扩展,直到无法继续扩展为止,即所有与S或T相邻的节点都在路径S -> T上.

　　2:若S与T相邻,则路径S -> T形成了一个回路.

　　3:若S与T不相邻,可以构造出来一个回路.设路径S -> T上有k+2个节点,依次为S, v1, v2, ..., vk, T.可以证明存在节点vi(i属于[1, k]),满足vi与T相邻,且vi+1与S相邻.找到这个节点vi,把原路径变成S -> vi -> T -> vi+1 -> S,即形成了一个回路.

　　4:到此为止,已经构造出来了一个没有重复节点的的回路,如果其长度为N,则哈密顿回路就找到了.如果回路的长度小于N,由于整个图是连通的,所以在该回路上,一定存在一点与回路之外的点相邻.那么从该点处把回路断开,就变回了一条路径,同时还可以将与之相邻的点加入路径.再按照步骤1的方法尽量扩展路径,则一定有新的节点被加进来.接着回到路径2.

证明:

　　可利用鸽巢原理（抽屉原理）证明.

可参考资料

多组输入，别忘记初始化

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cmath> #include <string> #include <cstring> #include <algorithm> #include <limits> #include <vector> #include <stack> #include <queue> #include <set> #include <map> #include <bitset> //#include <unordered_map> //#include <unordered_set> #define lowbit(x) ( x&(-x) ) #define pi 3.9793 #define e 2.9045 #define INF 0x3f3f3f3f #define HalF (l + r)>>1 #define lsn rt<<1 #define rsn rt<<1|1 #define Lson lsn, l, mid #define Rson rsn, mid+1, r #define QL Lson, ql, qr #define QR Rson, ql, qr #define myself rt, l, r using namespace std; typedef unsigned long long ull; typedef unsigned int uit; typedef long long ll; const int maxN = 155; int ans[maxN], N, M; inline void reverse(int l, int r) //将l到r部分翻转 { while(l < r) { swap(ans[l], ans[r]); l++; r--; } } bool vis[maxN], mp[maxN][maxN]; void Hamilton() { for(int i=1; i<=N; i++) vis[i] = false; int s = 1, t;//初始化取s为1号点 int have_node = 2; int i, j; int w; for(i = 1; i <= N; i++) if(mp[s][i]) break; t = i;//取任意邻接与s的点为t vis[s] = vis[t] = true; ans[0] = s; ans[1] = t; while(true) { while(true) //从t向外扩展 { for(i = 1; i <= N; i++){ if(mp[t][i] && !vis[i]){ ans[have_node++] = i; vis[i] = true; t = i; break; } } if(i > N) break; } w = have_node - 1;//将当前得到的序列倒置,s和t互换,从t继续扩展,相当于在原来的序列上从s向外扩展 i = 0; reverse(i, w); swap(s, t); while(true) //从新的t继续向外扩展,相当于在原来的序列上从s向外扩展 { for(i = 1; i <= N; i++){ if(mp[t][i] && !vis[i]){ ans[have_node++] = i; vis[i] = true; t = i; break; } } if(i > N) break; } if(!mp[s][t]) //如果s和t不相邻,进行调整 { for(i = 1; i < have_node - 2; i++) //取序列中的一点i,使得ans[i]与t相连,并且ans[i+1]与s相连 if(mp[ans[i]][t] && mp[s][ans[i + 1]])break; w = have_node - 1; i++; t = ans[i]; reverse(i, w); //将从ans[i +１]到ｔ部分的ans[]倒置 } //此时s和t相连 if(have_node == N) break; //如果当前序列包含n个元素,算法结束 for(j = 1; j <= N; j++) //当前序列中元素的个数小于n,寻找点ans[i],使得ans[i]与ans[]外的一个点相连 { if(vis[j]) continue; for(i = 1; i < have_node - 2; i++)if(mp[ans[i]][j])break; if(mp[ans[i]][j]) break; } s = ans[i - 1]; t = j; //将新找到的点j赋给t reverse(0, i - 1); //将ans[]中s到ans[i-1]的部分倒置 reverse(i, have_node - 1); //将ans[]中ans[i]到t的部分倒置 ans[have_node++] = j; //将点j加入到ans[]尾部 vis[j] = true; } if(have_node < N || !mp[s][t]) printf("no solution\n"); else for(int i=0; i<have_node; i++) printf("%d%c", ans[i], i == have_node - 1 ? '\n' : ' '); } int main() { while(scanf("%d%d", &N, &M) != EOF) { for(int i=1; i<=N; i++) for(int j=1; j<=N; j++) mp[i][j] = false; for(int i=1, u, v; i<=M; i++) { scanf("%d%d", &u, &v); mp[u][v] = mp[v][u] = true; } Hamilton(); } return 0; }