一、整数二分

关于二分，首先需要注意的是，所给数列单调是可以使用二分的充分不必要条件，即当所给数列单调分布时，我们可以使用二分进行查找，当我们使用二分时，使用的对象不一定是单调的

如图所示，一个并不好看甚至有点丑陋的数轴，因为整数是离散分布的，因此红色部分与绿色部分并不连续，当我们想要查找红色或绿色部分的边界时，就可以使用二分

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首先，我们定义左边端点为 l，右边端点为 r ，那么可知其中点为 mid = ( l + r ) / 2，初始区间为[ l , r ]
1.当查找红色边界时
会出现两种情况：
1.1 中点落在了绿**域

那么我们所求的红色边界所在区间可更新为 [ l ， mid - 1 ]
因为右边为闭区间，所以右区间边界为 mid - 1

1.2 中点落在了红**域

那么我们所求的红色边界所在区间可更新为 [ mid ， r ]
因为左边为闭区间，所以左区间边界为 mid

特别地，当更新的区间为[ l , mid ] 时，mid 的初始值要设为 mid = ( l + r + 1) / 2 （向上取整）

2.当查找绿色边界时
同样会出现两种情况：
2.1 中点落在了绿**域

那么我们所求的红色边界所在区间可更新为 [ l ， mid ]
因为右边为闭区间，所以右区间边界为 mid

2.2 中点落在了红**域

那么我们所求的红色边界所在区间可更新为 [ mid + 1 ， r ]
因为左边为闭区间，所以左区间边界为 mid + 1

可简单总结为：

查找红色边界时，mid = （ l + r + 1）/2 ， check_red（）为检验中点是否满足红**域性质

if( check_red(mid) ) $\{\begin{array}{l}True⟹[mid，r]\\ \\ False⟹[l,mid-1]\end{array}$

查找绿色边界时，mid = （ l + r ）/2 ， check_green（）为检验中点是否满足绿**域性质

if( check_green(mid) ) $\{\begin{array}{l}True⟹[l，mid]\\ \\ False⟹[mid+1,r]\end{array}$

整数二分模板：
写二分时，首先直接写出 mid = l + r >> 1 ；然后根据 check（）函数判断 l = mid 或者 r = mid ，若 l = mid ，返回修改 mid 为 l + r + 1 >> 1;

//区间 [l , r] 被划分成了[l , mid]和[mid + 1, r] 时使用 int bsearch_1(int l, int r) { 
    while (l < r) { 
    int mid = l + r >> 1; if (check(mid)) r = mid; else l = mid + 1; } return l; } //区间 [l , r] 被划分成了[l , mid - 1]和[mid, r] 时使用 int bsearch_2(int l, int r) { 
    while (l < r) { 
    int mid = l + r + 1 >> 1; if (check(mid)) l = mid; else r = mid - 1; } return l; } 

例题 1：数的范围

题目: 给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。

接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式

共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围

1≤n≤

1≤q≤10000

1≤k≤10000

输入样例：

讯享网6 3 1 2 2 3 3 4 3 4 5 

输出样例：

3 4 5 5 -1 -1 

题目分析：所给数列为升序，可用二分来查找初始点与结束点，根据初始点之后的数都满足q[ i ] >=x，结束点之前的数都满足q[ i ] <=x 可写出check（）函数

AC代码：

讯享网#include<iostream> using namespace std; const int N = 1e5 + 10; int q[N]; int main() { 
    int n, m; scanf("%d%d", &n, &m); for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &q[i]); while (m--) { 
    int a; scanf("%d", &a); int l = 0, r = n - 1; while (l < r) { 
    int mid = l + r >> 1; if (q[mid] >= a) r = mid; else l = mid + 1; } if (q[l] != a) cout << "-1 -1" << endl; else { 
    cout << l << " "; l = 0, r = n - 1; while (l < r) { 
    int mid = l + r + 1 >> 1; if (q[mid] <= a) l = mid; else r = mid - 1; } cout << l << endl; } } } 

二、浮点数二分

相对于整数二分，浮点数的二分没有那么多的边界情况，书写代码时也更加友好。

例题2：数的三次方根

题目: 给定一个浮点数 n，求它的三次方根。

输入格式

共一行，包含一个浮点数 n。

输出格式

共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。

注意，结果保留 6 位小数。

数据范围

−10000≤n≤10000

输入样例：

1000.00 

输出样例：

讯享网10.000000 

AC代码：

#include<iostream> using namespace std; int main() { 
    double x; cin >> x; double l = -10000, r = 10000; while (r - l > 1e-8) { 
    double mid = (l + r) / 2; if (mid * mid * mid >= x) r = mid; else l = mid; } printf("%.6f", l); }