大家好，我是讯享网，很高兴认识大家。

目录

简介

基本策略

适用情况

基本步骤

复杂性分析

依据分治法设计程序时的思维过程

典型例子

快速排序

归并排序

汉诺塔　

---

简介

在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

基本策略

对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题。这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解，这种算法设计策略叫做分治法。

如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n,且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解，这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

适用情况

1.该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；

2.该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；

3.利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

4.该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加。

第二特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用。

第三特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三特征，如果具备了第一和第二特征，而不具备第三特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。

第四特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

基本步骤

step1分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；

step2解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；

step3合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

它的一般的算法设计模式如下：

    Divide-and-Conquer(P)

    if |P|≤n0

     then return(ADHOC(P))

    将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk

     for i←1 to k

     do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △递归解决Pi

    T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △合并子问题

     return(T)

其中|P|表示问题P的规模，n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P，因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。

复杂性分析

在分治算法中的三个步骤中， 我们假设分解和合并过程所用的时间分别为D(n),C(n), 设T(n)为处理一个规模为n的序列所消耗的时间为子序列个数，每一个子序列是原序列的1/b，α为把每个问题分解成α个子问题,则所消耗的时间为

讯享网

如果n<=c(是n中一个可以直接求解的规模c。在上面两例中c都为1)，T(n)= Ѳ（1）    

否则 T(n)= αT(n/b)+ D(n) + C(n) 

在快速排序中,α 是为2的, b也为2, 则分解(就是取参照点,可以认为是1),合并(把数组合并,为n), 因此D(n) + C(n) 是一个线性时间Ѳ(n).

这样时间就变成了T(n) = 2T(n/2) +Ѳ(n).

 

在每个层上的时间复杂度为:第在一层上是cn(c为比较一次时所用的时间), 在第二层上时数组被分成了两部分, 每部分为n/2, 则在第二层上时间为 c * n/2 + c* n/2 =cn, 同样在第三层上, 被分成了四部分, 时间为c*n/4 +c*n/4 + c*n/4 + c*n/4 =cn. 层高一共是按刚才说的是Log2n层,每一层上都是cn, 所以共消耗时间cn * Log2n; 则总时间:

  cn * Log2n +cn = cn(1+Log2n)  即Ѳ(nLog2n).

所以总时间为：

C *D(n)

递归调用时, 最关键的就是递归调用栈的深度. 我们也可以理解为分治算法中,被分成的段数。 也就是步骤中的第1步中所分成的子序列的个数。 假设这个递归调用深度我们用 D(n)来表示。

另外一个就是在每次处理一个具体子序列时，所用的时间复杂度，我们用C来表示。（相当于这一层总的处理时间）

对于快速排序, C: 一个子项的处理时间Ѳ(n), D(n): 递归层数, 树高, Log2n,所以最终的结果是:Ѳ(nLog2n).

对于汉诺塔, C: 一个子项的处理时间Ѳ(1), D(n): 递归层数, 树高,2n-1, 故最终结果是: Ѳ(2n)

 

依据分治法设计程序时的思维过程

实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后根据方程公式设计递归程序。

1、一定是先找到最小问题规模时的求解方法

2、然后考虑随着问题规模增大时的求解方法

3、找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。

 

典型例子

快速排序

可以参考  https://blog.csdn.net/xushiyu/article/details/

归并排序

可以参考  https://blog.csdn.net/xushiyu/article/details/

汉诺塔　

在汉诺塔游戏中，有三个分别命名为A、B、C得塔座，几个大小各不相同，从小到大一次编号得圆盘，每个原盘中间有一个小孔。最初，所有得圆盘都在A塔座上，其中最大得圆盘在最下面，然后是第二大，以此类推.

游戏的目的是将所有的圆盘从塔座A移动到塔座B;塔座C用来防止临时圆盘,游戏的规则如下:

 

1、一次只能移动一个圆盘

2、任何时候都不能将一个较大的圆盘压在较小的圆盘上面.

3、除了第二条限制,任何塔座的最上面的圆盘都可以移动到其他塔座上.

汉诺塔问题解决思想:

在解决汉诺塔问题时,事实上,我们不是罪关心圆盘1开始应该挪到哪个塔座上,而是关心最下面的圆盘4.当然,我们不能直接移动圆盘4,但是圆盘4最终将从塔座A移动到塔座B.按照游戏规则,在移动圆盘4之前的情况一定如下图

　　 我们仍将分析,如何将前三个圆盘从A移动到C,然后圆盘4从A移动到B,前三个圆盘从C再移动到B.

　　但是上面的步骤可以重复利用!例如将三个圆盘从A移动到C,那么应该先将前两个圆盘从A移动到B,然后将圆盘3从A移动到C,最后将前两个圆盘从B移动到C.

　　持续简化这个问题,最终我们将只需要处理一个圆盘从一个塔座移动到另一个塔座的问题.

当n=3时，仍然从上往下按照大小顺序将圆盘编为1号、2号和3号，此时由于问题相对复杂，所以1号和2号圆盘看做一个圆盘，即1+2号圆盘，此时需要解决的就是将1+2号圆盘和3号圆盘移动到石柱C的问题，即先将1+2号圆盘移动到石柱B，再将3号圆盘移动到石柱C，最后将1+2号圆盘移动到石柱C即可。

由于每次只能移动一个圆盘，那么如果要将1+2号圆盘移动到石柱B，需要将1+2号圆盘拆分为两个个体，看做将1号和2号圆盘移动到石柱B，同理将1+2号圆盘移动到石柱C。
以此类推……
当n=n时，将圆盘自上向下编为1号、2号、3号……n号，同理将1号到n-1号圆盘看做一个圆盘，即 ∑n1(n−1)∑1n(n−1)号圆盘，此时解决的就是将 ∑n1(n−1)∑1n(n−1)号圆盘和n号圆盘移动到石柱C的问题，即先将∑n1(n−1)∑1n(n−1)号圆盘移动到石柱B，再将n号圆盘移动到石柱C，最后将∑n1(n−1)∑1n(n−1)号圆盘移动到石柱C。因为将第n号圆盘移动到石柱C后，无论前n-1个圆盘怎么移动，都不需要再次移动第n号圆盘，即父问题与子问题相对独立且互不影响，因此可以将∑n1(n−1)∑1n(n−1)号圆盘的问题同理向下拆分移动。
 

public class FZSFProblem { public static void main(String[] args) { solve(3); } public static void solve(int n) { // 已知条件n个圆盘和A、B、C三根石柱 hanoi(n, "A", "B", "C"); } / * 若要让第n个圆盘成功从A移动到C，需要让前n-1个圆盘先从A移动到B，然后让第n个圆盘从A移动到C， * 最后让第n-1个圆盘从B移动到C，至于如何将前n-1个圆盘从A移动到B或者从A移动到C，仅仅是和父问 * 题相同的子问题，采用父问题的解决方案即可。 */ private static void hanoi(int n, String a, String b, String c) { if (n == 1) { // 只有一个圆盘时直接从A石柱移动到C石柱 move(n, a, c); } else { // 将前n-1个圆盘从石柱A移动到石柱B hanoi(n - 1, a, c, b); // 将第n号圆盘从石柱A移动到石柱C move(n, a, c); // 将前n-1个圆盘从石柱B移动到石柱C hanoi(n - 1, b, a, c); } } private static void move(int n, String i, String j) { System.out.println("第" + n + "个圆盘，" + "从" + i + "移动到" + j); } } 

讯享网