逻辑门
| A | B |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
逻辑门的类型，参见下表
| A | B | C |
|---|---|---|
| 0 | 0 | c1 |
| 0 | 1 | c2 |
| 1 | 0 | c3 |
| 1 | 1 | c4 |
任一种 c1,c2,c3,c4 的组合都构成一种逻辑门，所以理论上共有16个逻辑门（逻辑函数）。但是经常提到的只有与门（AND）、或门(OR)、与非门(NAND)、或非门(NOR)、同或门(XNOR)、异或门(XOR)等。它们的真值表分别是
与门
| A | B | C |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
或门
| A | B | C |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
与非门
| A | B | C |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
或非门
| A | B | C |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
同或门
| A | B | C |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
异或门
| A | B | C |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
通常只提到它们的原因是，这些逻辑门满足交换律，即AB=BA，或者说AB不可区分，表现在真值表上就是中间两行的输出值相等。
这样满足交换律的门还有两个，即输出全为0和输出全为1的，是无意义或者说是平凡的。所以说，以上六个逻辑门是所有的非平凡的对称逻辑门。除此之外，还有8个不满足对称性的逻辑门。
完全集
能够实现任何逻辑函数的逻辑门类型的集合，被称为逻辑门的完全集。 1
完全集的一个常见的例子是与门、或门、非门。但是这样的概念并不精炼，数学上我们还要求完全集具有最少的元素，即满足
1. 任一个逻辑函数，都可以集合中的逻辑门实现，即完备性；
2. 集合中的一个元素不能被集合中其他元素实现，即独立性。
我们称这样的集合为最小完全集。
事实上我们马上会知道，{与门，或门，非门}并不是一个最小完全集。
那么哪些逻辑门可以构成最小完全集呢？
我们提出以下命题：
与非门（或非门）一种可以构成完全集
与非门证明：
- 与非门一个输入端接高电平，得到非门；
- 与非门串联一个非门，得到与门；
- 两个非门输入到一个与非门上，得到或门。
已知{与门，或门，非门}是完全集，所以与单独一种与非门可以实现所有逻辑函数，构成一个单元素的完全集（当然也就是最小完全集）。
或者考虑代数的表示
X NAND
Y=(X⋅Y)′=X′+Y′
⇒
1. X NAND1=X′+0=X′
2. (X NAND Y) NAND 1=((X⋅Y)′)′=X⋅Y
3. (X NAND 1) NAND (Y NAND 1)=X′ NAND Y′=X+Y
或非门证明：
- 或非门一个输入端接低电平，得到非门；
- 或非门串联一个非门，得到或门；
- 两个非门输入到一个或非门上，得到与门。
同或门（异或门）一种不能构成完全集
证法一 2数论方法
- 异或门不能构成完全集。
X⨁Y = X+Y(mod2)
仅用异或逻辑可以实现的所有逻辑函数可以表示成若干个 X,Y,1,0 的异或运算的累加，即 F==m1X+m2Y+m3⋅1+m4⋅0m1X+m2Y+m3
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