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线性方程组消元解法
消元解法
1） 2x + 3y = 8
2 ）x + 2y = 5
解
(2x + 3y) - 2(x + 2y) = -y = 8 - 10 = -2
将y带入1得x = 1，y = 2
我们将这种解法消元解法
增广矩阵
如下线性方程组
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
... ... ... ....
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
我们可构建矩阵如下矩阵，Ax = b
我们把由A和b组成的矩阵称为增广矩阵，如下
如下，我们用增广矩阵解线性方程组
2x1 + 2x2 - x3 = 6
x1 + 2x2 + 4x3 = 3
5x1 + 7x2 + x3 = 28
增广矩阵为
我们利用初等变换对矩阵的行进行变换，如下
解得：x1 = 1，x2 = 3，x3 = 2
实际上消元解法的过程就是初等变换的过程
阶梯形矩阵
我们称如下形式的矩阵称为阶梯形矩阵
其具有阶梯形状
阶梯形矩阵中，每行开头的元素是1，且它所在的列其他元素为0，则称简化的阶梯形矩阵，如下便是一个简化的阶梯形矩阵
增广矩阵与线性方程组
增广矩阵实际上就是线性方程组，如下增广矩阵
其线性方程组为
- 1*x1 + 0*x2 + 0*x3 = 1
- 0*x1 + 1*x2 + 0*x3 = 3
- 0*x1 + 0*x2 + 1*x3 = 2
我们的增广矩阵通过初等变换转为其他矩阵实际上就是线性方程组1，2，3之间的相加减或者某个方程式的左右2边同乘k倍
无解的增广矩阵
如下矩阵
第3行，不存在 0*x1 + 0*x2 + 0*x3 = 2 ，所以该方程组无解
无穷多解的增广矩阵
如下矩阵，其第4行第4个元素为0，所以无法消去1到3行第4个的元素，其左边的矩阵等价于右边的矩阵
其对应的方程组为
- 1*x1 + 0*x2 + 0*x3 + 1x4 = 1
- 0*x1 + 1*x2 + 0*x3 + 3x4 = 5
- 0*x1 + 0*x2 + 1*x3 + 2x4 = 9
所以方程组的解为
x1 = 1 - x4
x2 = 5 - 3x4
x3
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