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 <p></p><p>对数</p><p></p><p>在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的逆运算，反之亦然。</p><p> 这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。</p><p> 在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。</p><p>更一般来说，乘幂允许将任何正实数提高到任何实际功率，总是产生正的结果，因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。</p><p>如果a的x次方等于N（a&gt;0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=loga N。</p><p>其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。</p><p>答：指数运算公式是：loga(M^n)=nlogaM（M&gt;0）.即指数对数运算时，将真数的指数移到对数前面作为对数的系数，其余都不变。</p><p></p><p>对数基本公式是：x=log(a)(N)，对数公式是数学中的一种常见公式，如果a^x=N(a&gt;0,且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数。</p><p>在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。 这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。更一般来说，乘幂允许将任何正实数提高到任何实际功率，总是产生正的结果，因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。</p><p>式运算法则有：loga(MN)=logaM+logaN；loga(M/N)=logaM-logaN；logaNnx=nlogaM。如果a=em，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.…为自然对数的底，其为无限不循环小数。定义：若an=b（a&gt;0，a≠1）则n=logab。</p><p>自然对数的运算公式和法则：loga(MN)=logaM+logaN；loga(M/N)=logaM－logaN；对logaM中M的n次方有=nlogaM；如果a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.…为自然对数的底。</p><p>对数函数没有特定的积分公式，一般按照分部积分来计算。</p><p>例如：积分ln(x)dx</p><p>原式=xlnx-∫xdlnx</p><p>=xlnx-∫x*1/xdx</p><p>=xlnx-∫dx</p><p>=xlnx-x+C</p><p>1. 一般地，如果ax=N（a&gt;0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。</p><p>2. 一般地，函数y=logax（a&gt;0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。</p><p>3. 积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。</p><p>对数运算法则：</p><p>1、同底数对数相加，底数不变真数相乘，同底数对数相减，底数不变真数相除；</p><p>2、对数的真数为指数形式，则对数等于指数的次幂乘以同底数真数为指数底的对数。</p><p>对数公式推导：log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)，loga(b)×logb(a)=1，loge(x)=ln(x)，lg(x)=log10(x)。</p><p>对数公式是数学中的一种常见公式，如果a^x=N(a&gt;0，且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记做x=log(a)(N)，其中a要写于log右下。其中a叫做对数的底，N叫做真数。通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数。</p><p>①loga(mn)=logam+logan；</p><p>②loga(m/n)=logam－logan；</p><p>③对logam中m的n次方有=nlogam；</p><p>如果a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.…为自然对数</p><p>的底。定义：</p><p>若a^n=b(a&gt;0且a≠1)</p><p>则n=log(a)(b)</p><p>基本性质：</p><p>1、a^(log(a)(b))=b</p><p>2、log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n);</p><p>3、log(a)(m÷n)=log(a)(m)-log(a)(n);</p><p>4、log(a)(m^n)=nlog(a)(m)</p><p>5、log(a^n)m=1/nlog(a)(m)</p><p>推导：</p><p>1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。</p><p>2、mn=m×n</p><p>由基本性质1(换掉m和n)</p><p>a^[log(a)(mn)]</p><p>=</p><p>a^[log(a)(m)]×a^[log(a)(n)]</p><p>由指数的性质</p><p>a^[log(a)(mn)]</p><p>=</p><p>a^{[log(a)(m)]</p><p>+</p><p>[log(a)(n)]}</p><p>又因为指数函数是单调函数，所以</p><p>log(a)(mn)</p><p>=</p><p>log(a)(m)</p><p>+</p><p>log(a)(n)</p><p>3、与（2）类似处理</p><p>m/n=m÷n</p><p>由基本性质1(换掉m和n)</p><p>a^[log(a)(m÷n)]</p><p>=</p><p>a^[log(a)(m)]÷a^[log(a)(n)]</p><p>由指数的性质</p><p>a^[log(a)(m÷n)]</p><p>=</p><p>a^{[log(a)(m)]</p><p>-</p><p>[log(a)(n)]}</p><p>又因为指数函数是单调函数，所以</p><p>log(a)(m÷n)</p><p>=</p><p>log(a)(m)</p><p>-</p><p>log(a)(n)</p><p>4、与（2）类似处理</p><p>m^n=m^n</p><p>由基本性质1(换掉m)</p><p>a^[log(a)(m^n)]</p><p>=</p><p>{a^[log(a)(m)]}^n</p><p>由指数的性质</p><p>a^[log(a)(m^n)]</p><p>=</p><p>a^{[log(a)(m)]*n}</p><p>又因为指数函数是单调函数，所以</p><p>log(a)(m^n)=nlog(a)(m)</p><p>基本性质4推广</p><p>log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]</p><p>推导如下：</p><p>由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]</p><p>log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)</p><p>换底公式的推导：</p><p>设e^x=b^m,e^y=a^n</p><p>则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y</p><p>x=ln(b^m),y=ln(a^n)</p><p>得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)</p><p>由基本性质4可得</p><p>log(a^n)(b^m)</p><p>=</p><p>[m×ln(b)]÷[n×ln(a)]</p><p>=</p><p>(m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}</p><p>再由换底公式</p><p>log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]</p><p>log函数运算公式是y=logax（a&gt;0&amp;a≠1）</p><p>log函数运算公式是y=logax（a&gt;0&amp;a≠1）。</p><p>对数公式是数学中的一种常见公式，如果a^x=N(a&gt;0，且a≠1)，则x叫作以a为底N的对数，记做x=log(a)(N)，其中a要写于log右下。其中a叫作对数的底，N叫作真数。通常我们将以10为底的对数叫作常用对数，以e为底的对数称为自然对数。</p><p>如果a(a大于0,且a不等于1)的b次幂等于N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫作对数的底数，N叫作真数.一般地，函数y=log(a)X,(其中a是常数，a&gt;0且a不等于1)叫作对数函数 它实际上就是指数函数的反函数。</p><p>正如除法是乘法的倒数反之亦然， 这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数，在简单的情况下乘数中的对数计数因子，更一般来说乘幂允许将任何正实数提高到任何实际功率，总是产生正的结果因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。</p><p>补充</p><p>1、对数公式是数学中的一种常见公式。</p><p>2、如果a(a大于0,且a不等于1)的b次幂等于N。</p><p>3、log中文意思就是对数，在数学中对数是对求幂的逆运算。</p><p>换底公式</p><p>logMN=logaM/logaN</p><p>换底公式导出</p><p>logMN=-logNM</p><p>推导公式</p><p>log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)</p><p>loga(b)*logb(a)=1</p><p>loge(x)=ln(x)</p><p>lg(x)=log10(x)</p><p>log表示对数函数。一般地，函数y=log(a)X，（其中a是常数，a&gt;0且a不等于1）叫做对数函数，它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。</p><p>对数函数的常用简略表达方式</p><p>（1）log(a)(b^n)=nlog(a)(b)(a为底数）(n属于R)</p><p>（2）lg(b)=log(10)(b)（10为底数）</p><p>（3）ln(b)=log(e)(b)（e为底数）</p><p>对数函数的运算性质</p><p>一般地，如果a（a&gt;0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。对数函数化简问题，底数则要&gt;0且≠1真数&gt;0</p><p>并且，在比较两个函数值时：</p><p>如果底数一样，真数越大，函数值越大。（a&gt;1时）</p><p>如果底数一样，真数越大，函数值越小。（0</p><p>对数函数</p><p>一般地，对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。一般地，函数y=logaX（a&gt;0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x&gt;0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。</p><p>指数函数</p><p>指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为e，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于2.，还称为欧拉数。一般地，y=a^x函数(a为常数且以a&gt;0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R。</p><p>二者关系</p><p>同底的对数函数与指数函数互为反函数。</p><p>当a&gt;0且a≠1时，ax=Nx=㏒aN。</p><p>关于y=x对称。</p><p>对数函数的一般形式为y=㏒ax，它实际上就是指数函数的反函数（图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定（a&gt;0且a≠1），因此对于不同大小a所表示的函数图形：关于X轴对称、当a&gt;1时，a越大，图像越靠近x轴、当0</p><p>对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。</p><p>对数函数运算法则公式是如果a^x=N(a&gt;0,且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记做x=log(a)(N)，其中a要写于log右下。其中a叫做对数的底，N叫做真数。通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数。</p><p>一般地，对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。</p><p>对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义：</p><p>如果ax =N（a&gt;0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。</p><p>一般地，函数y=logaX（a&gt;0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。</p><p>其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x&gt;0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。</p>