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 <p id="359M2DST">导数的定义、计算、几何意义及判断函数单调性的应用举例</p><p class="f_center"><img src="http://dingyue.ws.126.net/2024/1106/af39a00eg00smieg4001id0009q006hp.gif"/><br/><br/></p><p id="359M2DT0"><br/><strong>导数的定义应用举例</strong></p><p id="359M2DT1">[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).</p><p id="359M2DT2"><strong>例题1：设函数f(x)在x=12处的导数为30，则极限lim(△x→0)[f(12+23△x)-f(12)]/(12△x)的值是多少？</strong></p><p id="359M2DT3">解：本题考查的是导数的极限定义，本题已知条件导数为30，其定义为：lim(△x→0)[f(12+△x)-f(12)]/(△x)= 30。</p><p id="359M2DT4">对所求极限进行变形有：</p><p id="359M2DT5">lim(△x→0) 23*[f(12+23△x)-f(12)]/(12*23△x)</p><p id="359M2DT6">=lim(△x→0) (23/12)*[f(12+23△x)-f(12)]/(23△x),</p><p id="359M2DT7">=(23/12)lim(△x→0) [f(12+23△x)-f(12)]/(23△x),</p><p id="359M2DT8">=(23/12)*30,</p><p id="359M2DT9">=115/2.</p><p id="359M2DTA"><strong>例题2:有一机器人的运动方程为s(t)=7t²+53/t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t=9时的瞬时速度为多少？</strong></p><p id="359M2DTB">解:本题考查的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：</p><p id="359M2DTC">v(t)=s'(t)=(7t²+53/t)',</p><p id="359M2DTD">=2*7t-53/t²,</p><p id="359M2DTE">当t=9时，有：</p><p id="359M2DTF">v(9)=2*7*9-53/9²,</p><p id="359M2DTG">v(9)=1081/81,</p><p id="359M2DTH">所以机器人在时刻t=9时的瞬时速度为1081/81。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F0728%2F1996e379j00shbmzm00m4d000m800etp.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="359M2DTK"><strong>导数的基本运算举例</strong></p><p id="359M2DTL"><strong>例题1：已知函数f(x)=(15x-29)lnx-57x²,求导数f'(1)的值。</strong></p><p id="359M2DTM">解: 本题是导数知识计算，考查对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。</p><p id="359M2DTN">∵f(x)= (15x-29)lnx-57x²，</p><p id="359M2DTO">∴f'(x)=15lnx+(15x-29)*(1/x)-2*57x</p><p id="359M2DTP"> =15lnx+(15x-29)/x-114x.</p><p id="359M2DTQ">所以: f'(1)=0+15-29-114=-128.</p><p id="359M2DTR">即为本题所求的值。</p><p id="359M2DTS"><strong>例题2:已知函数f(x)=-(11/26)x²+16xf'(7800)+7800lnx，求f'(7800)的值。</strong></p><p id="359M2DTT">解: 本题是导数知识计算，考查对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。</p><p id="359M2DTU">∵f(x)=-(11/26)x²+16xf'(7800)+7800lnx，</p><p id="359M2DTV">∴f' (x)=-2*(11/26)x+16f'(7800)+7800/x,</p><p id="359M2DU0">则当x=7800时，有:</p><p id="359M2DU1">f'(7800)=-2*(11/26)*7800+16f'(7800)+7800/7800,</p><p id="359M2DU2">即:-2*(11/26)*7800+15f'(7800)+1=0,</p><p id="359M2DU3">所以: f'(7800)= 6599/15.</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F0728%2F7ce2bb19j00shbqzu00hqd000m800ckp.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="359M2DU6"><strong>导数解析函数单调性应用举例</strong></p><p id="359M2DU7">[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)&gt;0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。</p><p id="359M2DU8"><strong>例题1:已知函数f(x)=-16lnx+17x²/5+54，计算函数f(x)的单调递减区间。</strong></p><p id="359M2DU9">解：对函数进行求导，有：</p><p id="359M2DUA">∵f(x)=- 16lnx+17x²/5+54</p><p id="359M2DUB">∴f'(x)=- 16/x+2*17x/5，</p><p id="359M2DUC">本题要求函数的单调减区间，则：</p><p id="359M2DUD">-16/x+2*17x/5＜0，</p><p id="359M2DUE">(-16*5+2*17x²)/(5x)＜0，</p><p id="359M2DUF">又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.</p><p id="359M2DUG">故不等式解集等同于：</p><p id="359M2DUH">2*17x²＜16*5，</p><p id="359M2DUI">即：x²＜40/17,</p><p id="359M2DUJ">所以解集为：(0,(2/17)*√170).</p><p id="359M2DUL"><strong>例题2:已知函数f(x)=(x²+57x+852)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。</strong></p><p id="359M2DUM">解：对函数求一阶导数有：</p><p id="359M2DUN">∵f(x)=(x²+57x+852)/eˣ</p><p id="359M2DUO">∴f'(x)=[(2x+57)eˣ-(x²+57x+852)eˣ]/e^(2x),</p><p id="359M2DUP">=(2x+57-x²-57x-852)/eˣ,</p><p id="359M2DUQ">=-(x²+55x+795)/eˣ,</p><p id="359M2DUR">对于函数g(x)=x²+55x+795，其判别式为：</p><p id="359M2DUS"> △=55²-4*795=-155&lt;0,</p><p id="359M2DUT"> 即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0，</p><p id="359M2DUU"> 此时:f'(x)= -(x²+55x+795)/eˣ＜0，</p><p id="359M2DUV"> 所以函数f(x)=(x²+57x+852)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F0728%2Fce6124e5j00shbmwu00qfd000m800g5p.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="359M2DV3"><strong>导数的几何意义应用举例</strong></p><p id="359M2DV4"><strong>例题1：求函数f(x)=x(3x+7)³的图像在点(-2,f(-2))处的切线的斜率k。</strong></p><p id="359M2DV5"> [知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。</p><p id="359M2DV6">解：本题对函数求导有：</p><p id="359M2DV7">f' (x)=(3x+7)³+3x(3x+7)²*3</p><p id="359M2DV8">=(3x+7)²*(3x+7+3*3x)</p><p id="359M2DV9">=(3x+7)²*(4*3x+7)</p><p id="359M2DVA"> 当x=-2时，有：</p><p id="359M2DVB"> 斜率k=f'(-2)</p><p id="359M2DVC">=(3*-2+7)²*(4*3*-2+7)</p><p id="359M2DVD">=1*-17</p><p id="359M2DVE">=-17，即为本题所求的值。</p><p id="359M2DVF"><strong>例题2：若曲线y=19x/10-21lnx在x=x₀处的切斜的斜率为12/13,则x₀的值是多少?</strong></p><p id="359M2DVG">解：对曲线y进行求导，有：</p><p id="359M2DVH">y'=19/10-21/x，</p><p id="359M2DVI">根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：</p><p id="359M2DVJ">19/10-21/x₀=12/13，</p><p id="359M2DVK">即：21/x₀=19/10-12/13=127/130,</p><p id="359M2DVL">所以x₀=2730/127.</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F0728%2Fj00shbitn00ond000m800etp.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p>