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1、进位计数法

基数：每个数位所要用到的不同符号的个数（二进制就是2个、8进制就是8个、十进制就是10个…）。

基数越大，位数越小，运算情况越多。

位权：依据进制所决定的一个常数（二级制就是2，十进制就是10…）

一个r进制数的数值可以表示为：

∑i=n−mKiri=Knrn+Kn−1rn−1…+K0r0+K−1r−1+…+K−mr−mi=n∑−m​Ki​ri=Kn​rn+Kn−1​rn−1…+K0​r0+K−1​r−1+…+K−m​r−m

• r：基数
• riri：第i位的位权
• KiKi​：可以取0~（r-1）中的任意数
• 整数最低位为第0位，小数为负数位

N位r进制的数所能表示的数字个数为：rNrN个

2、进制转换

（一）、任意进制 –> 十进制

用相应位上的数乘以位权即可。

二进制：101.1 –>1∗22+0∗21+1∗20+1∗2−1=5.51∗22+0∗21+1∗20+1∗2−1=5.5

八进制：5.4 –>5∗80+4∗8−1=5.55∗80+4∗8−1=5.5

十六进制：5.8 –>5∗160+8∗16−1=5.55∗160+8∗16−1=5.5

（二）、十进制 –> 任意进制

例：将十进制123.6875转化为二进制

1、除基取余法（整数）

对整数部分的处理使用短除法，并从下向上，得

2、乘基取整法（小数）

小数部分采用乘基取整的思路，如下所示：

0.6875∗21.37500.3750∗20.7500∗21.50000.5000∗21.0000….1最高位011最低位…0.6875∗21.37500.3750∗20.7500∗21.50000.5000∗21.0000….​​1最高位011最低位…​

一般十进制无法精确化为二进制小数，取一定精度即可。

（二）、2n2n进制之间的转换

每n位一组，进行对应的转换即可。

例1：将3C2.68H转化为2进制

0011‾1100‾0010‾.0110‾1000‾3C 2 .​1100​0010​.0110​1000​3C 2 .68

即：3C2.68H=.01101B

例2：将.01101B转化为八进制

001‾111‾000‾010‾.011‾010‾1702.32001​111​000​010​.011​010​1702.32

即：.01101B=(1702.32)8(1702.32)8​

BCD（Binary-Coded Decimal），使用二进制表示的十进制数。即使用四位二进制数表示一位十进制数，使得十进制与二进制之间的转换得以快速进行。

1、8421码

使用8421码进行运算时，若结果大于等于10，需要加6修正（加0110）。

例：

4+9=0100B+1001B=1101B(+0110B)=10011B=134+9​=0100B+1001B=1101B(+0110B)=10011B=13​​

2、余三码

将8421码的每一位加3（即加0011B）得到。

3、2421码

将最高位的权值改为2，特点是大于5的四位二进制码最高位是1，小于5的是0.

1、ASCII码

• 32~126位称为可印刷字符
• A-Z，a-z是连续的，但是Z和a之间不连续
• 以字节的形式存储

例：已知’A’的ASCII码码值是65，H存放在某存储单元M中，求M中存放的值

65+(8-1)=72

72 = 0100 1000

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2、字符串

字符串：IF_ _A>B THEN READ© ，每个存储单元存放4B

大端模式：存储单元内先存储高位字节、后存储低位字节的顺序

大端方式是正常的

小端模式：存储单元内先存储低位字节、后存储高位字节的顺序

3、汉字编码

包括输入的输入编码，计算机内部处理的汉字内码和输出的汉字字形码三种。

码距：任意两个合法码字之间不同的二进制的位数。

• 码距大于等于2时，开始具有检错能力
• 码距越大，纠错、检错能力越强

1、奇偶校验码

添加一个校验位，校验位的取值满足以下规定：

奇校验码：整个校验码（有效信息位和校验位）中“1”的个数为奇数。

偶校验码：整个校验码（有效信息位和校验位）中“1”的个数为偶数。

即在有效信息的前面添加1或者0即可。

2、海明校验码

• 若信息位的位数为n，海明码的位数为k ，则有：

2k≥n+k+1(1)2k≥n+k+1(1)

• 将校验位依次放在位于2i−12i−1位上，并将信息位按照顺序填入剩下的位置
• 海明码的取值相当于将各数据位的第i组的所有位求异或
• 每个校验组分别用校验位和参与计算校验位的信息位进行奇偶校验，并得到响应结果。

例：求1010的海明码

1、确定位数

因为 n=4，则由（1）计算得 k=3

则，设信息位D4D3D2D1(1010)D4​D3​D2​D1​(1010)，共4位，校验位P3P2P1P3​P2​P1​， 共3位，对应的海明码为H7H6H5H4H3H2H1H7​H6​H5​H4​H3​H2​H1​。

2、确定校验位的分布

• 将校验码放在2i−12i−1位置上

• 将信息位填入剩下的位置

3、求校验位的值

先将信息位的海明位号表示为二进制，再对相应组含有1的求异或

P1=D1⊕D2⊕D4=0⊕1⊕1=0P2=D1⊕D3⊕D4=0⊕0⊕1=1P3=D2⊕D3⊕D4=1⊕0⊕1=0P1​=D1​⊕D2​⊕D4​=0⊕1⊕1=0P2​=D1​⊕D3​⊕D4​=0⊕0⊕1=1P3​=D2​⊕D3​⊕D4​=1⊕0⊕1=0

因此有

4、纠错

将校验码和与之相应的数据位进行异或，应当全部为0。

P1⊕D1⊕D2⊕D4=0P2⊕D1⊕D3⊕D4=0P3⊕D2⊕D3⊕D4=0P1​⊕D1​⊕D2​⊕D4​=0P2​⊕D1​⊕D3​⊕D4​=0P3​⊕D2​⊕D3​⊕D4​=0

得1则说明有错。

3、循环冗余校验码

循环冗余校验码包括K位数据位和R位校验位。

例：已知生成多项式G(x)=x3+x2+1G(x)=x3+x2+1，信息码为，求对应的CRC码

1、确定K、R及生成多项式对应的二进制码

• K = 7
• R = 生成多项式的最高次幂 = 3
  • 则，CRC码的位数 = K + R = 10
• 生成多项式的各次幂的系数就是对应的二进制码：1101（没有x，故第二位为0）

2、移位

将信息码左移R位，低位补0

3、模2相除

将 左移后的信息码 除以 生成多项式的二进制码。

每一次相减时，相同得0，不相同得1，没有借位。

最后的余数就是校验位

因此，CRC码 = 001

4、检错

对于CRC码再次用生成多项式的二进制码进行模2除法，余数应为000。