论文汇总

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个人感觉讲的比较清楚的(百度云里都包括,贴一下百度文库方便查看)
The Magical Splay
BST 拓展与伸展树 (Splay) 一日通
杨思雨 2004国家集训队论文 《伸展树的基本操作与应用》

浅谈平衡树

平衡树种类

• 平衡树通过旋转操作来使自身达到平衡状态,这其中例如Treap,Splay是均摊 O(logN) ,而例如SBT是严格平衡严格 O(logN)

平衡树性质

• 对于一个节点i,它的leftson[i] (包括一个点或整个子树)的权值都小于节点i,它的rightson[i] (包括一个点或整个子树)的权值都大于节点i
• 平衡树是依靠整棵树的中序遍历来维护整个序列的

Splay的旋转和伸展操作

旋转

Splay分为左旋(zag),右旋(zig),通过组合我们又可以得到zig-zig,zag-zag,zig-zag,其中可以证明zig-zag=zig+zag,所以我们只需要zig,zag,zig-zig,zag-zag,考虑对称性,就分为单旋和双旋了

单旋

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双旋

• 对于双旋我们也是可以把它摘成两步单旋的
• 比如上图,我们先对p右旋,再对x右旋即可
• 综上就只有左右单旋就可实现所有旋转操作了
• 从code角度来讲,左右旋是可以写成一个的
• w[a,i],i=1:左儿子2:右儿子3:父4:子树节点和5:该权值个数6:权值
• 特意说一下w[a,5]:该权值个数,他存在的原因是因为插入时可能是重复的,而旋转操作的其中一个原因是二叉树的严格左儿子<该节点<右儿子,所以插入时重复的直接在w[a,5]上+1即可

procedure rotate(a,kind:longint); //kind=1右旋；kind=2左旋 var b,unkind; begin b:=w[a,3]; unkind:=kind xor 3; w[a,4]:=w[b,4]; dec(w[b,4],w[a,5]+w[w[a,kind],4]); w[w[a,unkind],3]:=b; w[b,kind]:=w[a,unkind]; w[a,unkind]:=b; w[a,3]:=w[b,3]; w[b,3]:=a; if w[a,3]<>-1 then if w[w[a,3],1]=b then w[w[a,3],1]:=a else w[w[a,3],2]:=a; end;

伸展

Splay的均摊复杂度为每次O(logN)就是靠着每次将要操作的节点提为根节点来维持的
以下我们以a为操作节点,b=fa[a]来说
我们定义a为它父节点的左儿子(son[b,1]=a)那么kind=1反之kind=2
它父节点的另一个儿子为unkind(unkind=kind xor 3)

zig/zag

a的父节点为目标节点时执行此操作

zig-zig/zag-zag

a,a的父节点,a的父节点的父节点为同一侧的子节点

zig-zag

a,a的父节点,a的父节点的父节点为不同侧的子节点

讯享网procedure splay(a,goal:longint); var b,kind,unkind:longint; begin while w[a,3]<>goal do begin b:=w[a,3]; if w[b,1]=a then kind:=1 else kind:=2; unkind:=kind xor 3; if w[b,3]=goal then rotate(a,kind) else if w[w[b,3],kind]=b then begin rotate(b,kind); rotate(a,kind); end else begin rotate(a,kind); rotate(a,unkind); end; end; if goal=-1 then root:=a; end;

Splay支持的操作

root表示splay的根,sum表示最后一个节点在数组的位置

插入{init(a)}

注意有重复的问题

procedure init(a:longint); var tt,fa,kind:longint; begin tt:=root; while tt<>-1 do begin //标记下传 if w[tt,7]<>0 then pushdown(tt); inc(w[tt,4]); fa:=tt; if w[tt,6]=a then break; if a<w[tt,6] then begin tt:=w[tt,1]; kind:=1; end else begin tt:=w[tt,2]; kind:=2; end; end; if tt<>-1 then begin inc(w[tt,5]); splay(tt,-1); end else begin inc(sum); w[sum,1]:=-1; w[sum,2]:=-1; w[sum,3]:=fa; w[sum,4]:=1; w[sum,5]:=1; w[sum,6]:=a; w[fa,kind]:=sum; splay(sum,-1); end; end;

删除{del(a)}

还是注意重复问题

讯享网function getmax(a:longint):longint; //在a的子树中找到最大的节点 var tt:longint; begin tt:=a; while w[tt,2]<>-1 do tt:=w[tt,2]; exit(tt); end; procedure del(a:longint); var tt:longint; begin tt:=root; while w[tt,6]<>a do if a<w[tt,6] then tt:=w[tt,1] else tt:=w[tt,2]; splay(tt,-1); if w[tt,5]>1 then begin dec(w[tt,4]); dec(w[tt,5]); end else begin splay(getmax(w[root,1]),root); w[w[root,1],2]:=w[root,2]; w[w[root,1],4]:=w[root,4]-1; root:=w[root,1]; w[w[root,2],3]:=root; w[root,3]:=-1; end; end;

Splay和线段树

我们可以很容易地将任何一条线段用Splay夹出来,由于Splay也是一棵二叉树与线段树相似,所以就产生了Splay的特殊操作:翻转操作(就是打标记下传,没什么区别)

关于复杂度

时间复杂度为每次操作均摊 O(logN) ,但常数问题…,势能分析得到的常数大概是...

Splay模板

const maxn=; var w:array[-1..maxn,1..6]of longint; i,j,k:longint; n,sum,root,a,b:longint; procedure print(a:longint); var i:longint; begin if w[a,1]<>-1 then print(w[a,1]); for i:=1 to w[a,5] do write(w[a,6],' '); if w[a,2]<>-1 then print(w[a,2]); if a=root then writeln; end; procedure rotate(a,kind:longint); var b,unkind:longint; begin b:=w[a,3]; unkind:=kind xor 3; w[a,4]:=w[b,4]; dec(w[b,4],w[a,5]+w[w[a,kind],4]); w[b,kind]:=w[a,unkind]; w[w[a,unkind],3]:=b; w[a,unkind]:=b; w[a,3]:=w[b,3]; w[b,3]:=a; if w[a,3]<>-1 then if w[w[a,3],1]=b then w[w[a,3],1]:=a else w[w[a,3],2]:=a; end; procedure splay(a,goal:longint); var b,kind,unkind:longint; begin while w[a,3]<>goal do begin b:=w[a,3]; if w[b,1]=a then kind:=1 else kind:=2; unkind:=kind xor 3; if w[b,3]=goal then rotate(a,kind) else if w[w[b,3],kind]=b then begin rotate(b,kind); rotate(a,kind); end else begin rotate(a,kind); rotate(a,unkind); end; end; if goal=-1 then root:=a; end; procedure init(a:longint); var tt,fa,kind:longint; begin tt:=root; while tt<>-1 do begin inc(w[tt,4]); if w[tt,6]=a then break; fa:=tt; if a<w[tt,6] then begin kind:=1; tt:=w[tt,1]; end else begin kind:=2; tt:=w[tt,2]; end; end; if w[tt,6]=a then inc(w[tt,5]) else begin inc(sum); w[sum,1]:=-1; w[sum,2]:=-1; w[sum,3]:=fa; w[sum,4]:=1; w[sum,5]:=1; w[sum,6]:=a; w[fa,kind]:=sum; tt:=sum; end; splay(tt,-1); end; function getmax(a:longint):longint; var tt:longint; begin tt:=a; while w[tt,2]<>-1 do tt:=w[tt,2]; exit(tt); end; function getmin(a:longint):longint; var tt:longint; begin tt:=a; while w[tt,1]<>-1 do tt:=w[tt,1]; exit(tt); end; procedure del(a:longint); var tt:longint; begin tt:=root; while w[tt,6]<>a do if a<w[tt,6] then tt:=w[tt,1] else tt:=w[tt,2]; splay(tt,-1); if w[root,5]=1 then begin splay(getmax(w[root,1]),root); w[w[root,1],2]:=w[root,2]; w[w[root,1],4]:=w[root,4]-1; root:=w[root,1]; w[w[root,2],3]:=root; w[root,3]:=-1; end else begin dec(w[root,5]); dec(w[root,4]); end; end; function getrank(a:longint):longint; var tt:longint; begin tt:=root; while w[tt,6]<>a do if a<w[tt,6] then tt:=w[tt,1] else tt:=w[tt,2]; splay(tt,-1); exit(w[w[tt,1],4]); end; function getkth(a:longint):longint; var tt:longint; begin tt:=root; while (a<=w[w[tt,1],4])or(a>w[w[tt,1],4]+w[tt,5]) do if a<=w[w[tt,1],4] then tt:=w[tt,1] else begin dec(a,w[w[tt,1],4]+w[tt,5]); tt:=w[tt,2]; end; exit(w[tt,6]); end; begin readln(n); sum:=2; root:=2; w[1,1]:=-1; w[1,2]:=-1; w[1,3]:=2; w[1,4]:=1; w[1,5]:=1; w[1,6]:=-; w[2,1]:=1; w[2,2]:=-1; w[2,3]:=-1; w[2,4]:=2; w[2,5]:=1; w[2,6]:=; for i:=1 to n do begin readln(a,b); case a of 1:begin init(b); end; 2:begin del(b); end; 3:begin writeln(getrank(b)); end; 4:begin writeln(getkth(b+1)); end; 5:begin init(b); writeln(w[getmax(w[root,1]),6]); del(b); end; 6:begin init(b); writeln(w[getmin(w[root,2]),6]); del(b); end; end; end; end.

Splay模板题

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