2025年动态规划之割绳子

科技前沿 • 2025-02-15 22:15 • 阅读 36

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题目：给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段 (m和n都是整数，n>1并且m>1)每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]. 请问k[0]k[1]…*k[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度为8时，我们把它剪成长度分别为2,3,3的三段，此时得到的最大乘积是18.

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思路：采用自底向上的动态规划方法。设f(n)代表长度为n的绳子剪成若干段的最大乘积，如果第一刀下去，第一段长度是i，那么剩下的就需要剪n-i，那么f(n)=max{f(i)f(n-i)}。而f(n)的最优解对应着f(i)和f(n-i)的最优解，假如f(i)不是最优解，那么其最优解和f(n-i)乘积肯定大于f(n)的最优解，和f(n)达到最优解矛盾，所以f(n)的最优解对应着f(i)和f(n-i)的最优解。首先，剪绳子是最优解问题，其次，大问题包含小问题，并且大问题的最优解包含着小问题的最优解，所以可以使用动态规划求解问题，并且从小到大求解，把小问题的最优解记录在数组中，求大问题最优解时就可以直接获取，避免重复计算。
n<2时，由于每次至少减一次，所以返回0。n=2时，只能剪成两个1，那么返回1。n=3时，可以剪成3个1，或者1和2，那么最大乘积是2。当n>3时，就可以使用公式进行求解。
f(4)=max{f(1)f(3), f(2)f(2)}
f(5)=max{f(1)f(4), f(2)f(3)}
...
f(n)=max{f(1)f(n-1), f(2)f(n-2), f(3)f(n-3), ..., f(i)(fn-i), ...}
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2025年动态规划之割绳子

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