一、等差数列的相关概念：

• 定义：自然语言，略；符号语言：\(a_n-a_{n-1}=d(n\ge 2，n\in N^*)\)，\(d\)为常数或\(a_{n+1}-a_n=d(n\in N^*)\)，
• 等差中项：若\(a，A，b\)成等差数列，则\(A\)称为\(a\)与\(b\)的等差中项，即\(A=\cfrac{a+b}{2}\)，任意两个实数必有等差中项，但任意两个实数不一定有等比中项。
• 通项公式\(a_n\)：\(a_n=a_1+(n-1)d\)，其推广式：\(a_n=a_m+(n-m)d\)，
• 前\(n\)项和公式\(S_n\)：\(S_n=\cfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\cfrac{n(n-1)\cdot d}{2}\)

二、等差数列的性质

①等差数列中，若\(m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k\in N^*)\)，则\(a_m+ a_n=a_p+ a_q=2a_k\)。

②若数列\(\{a_n\}\)，\(\{b_n\}\)(项数相同)是等差数列，则\(\{\lambda a_n\}\)，\(\{a_n+b_n\}\)，\(\{a_n-b_n\}\)仍然是等比数列；

③在等差数列\(\{a_n\}\)中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即\(a_n，a_{n+k}，a_{n+2k}，a_{n+3k}，\cdots\)为等比数列，公比为\(nd\)；

④等差比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，则\(S_n，S_{2n}-S_n，S_{3n}-S_{2n}，\cdots ，\)仍成等差数列，但是同样的性质到了等比数列中，就有了一定的限制。

⑤等差求和公式的应用：\(S_{2n-1}=(2n-1)\cdot a_n\)，\(S_{2n}=n(a_1+a_{2n})=\cdots=n(a_n+a_{n+1})\)；

⑥等差数列的单调性：\(a_n=a_1+(n-1)d=d\cdot n+(a_1-d)\)，故\(a_n=f(n)\)是\(n\)的仿一次函数，其单调性完全取决与公差\(d\)，

当\(d>0\)，\(a_n\)单调递增；当\(d<0\)，\(a_n\)单调递减；当\(d=0\)，\(a_n\)为常数列，无单调性；

⑦若数列\(\{a_n\}\)为等差数列，且公差\(d\neq 0\)，则数列\(\{\cfrac{S_n}{n}\}\)也为等差数列；

分析：\(S_n=An^2+Bn(A\neq 0)\)，则\(\cfrac{S_n}{n}=An+B\)，则数列\(\{\cfrac{S_n}{n}\}\)也为等差数列；

⑧两个等差数列\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和分别为\(S_n\)和\(T_n\)，则有\(\cfrac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}=\cfrac{a_n}{b_n}\)；

证明：由于等差数列\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和分别为\(S_n\)和\(T_n\)，

则\(S_{2n-1}=(2n-1)a_n\)，\(T_{2n-1}=(2n-1)b_n\)，故\(\cfrac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}=\cfrac{a_n}{b_n}\)；

⑨若等差数列\(\{a_n\}\)满足\(a_n>0\)，则可知\(d\ge 0\)，可知\(S_n>0\)，且数列\(\{S_n\}\)是单调递增数列；若等差数列\(\{a_n\}\)满足\(S_n>0\)，则可知\(d\ge 0\)，也可知\(a_n>0\)；

二、等差数列的判断和证明

• 等差数列的证明方法：

定义法：\(a_{n+1}-a_n=d\)，\(d\)为常数，

等差中项法：\(2a_{n+1}=a_n+a_{n-1}，n\ge 2，n\in N^*\)

• 等差数列的判断方法：

除了定义法和等差中项法外，还有

通项公式法：\(a_n=pn+q\)，(\(p，q\)为常数)，\(a_n\)为\(n\)的仿一次函数；

前\(n\)项和法：\(S_n=An^2+Bn\)，(\(A，B\)为常数)，\(S_n\)为\(n\)的仿二次函数；

三、等差数列的相关运算和技巧

① 数列的项数的计算

由\(a_n=a_1+(n-1)\cdot d\)，可得项数\(n=\cfrac{a_n-a_1}{d}+1\)，推广得到项数\(n=\cfrac{a_n-a_m}{d}+1\)，

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如数列\(2^1，2^3，2^5，\cdots ，2^{2n-1}\)的项数的计算，其项数可以利用上标来计算，其上标刚好成等差数列，

项数\(r=\cfrac{a_n-a_1}{d}+1=\cfrac{(2n-1)-1}{3-1}+1=n\)；

• 比如区间\((9^{m-1}+\cfrac{8}{9}，9^{2m-1}+\cfrac{8}{9})\)有几个整数？

个数为\(9^{2m-1}-(9^{m-1}+1)+1=9^{2m-1}-9^{m-1}\)

② 约分技巧

当题目中出现\(a_n>0\)，或者正项数列，则涉及方程或者不等式的运算中十之八九要约分，要么约掉\(a_n\)，或者约掉\(a_{n+1}+a_n\)。如题目中有\((a_{n+1}+a_n)(a_{n+1}-a_n)=2(a_{n+1}+a_n)\)，\(a_n>0\)；由此得到\(a_{n+1}-a_n=2\)；

③在\(\Delta ABC\)中，三个内角\(A、B、C\)成等差数列，则\(B=\cfrac{\pi}{3}\)。三条边成等差数列，则\(3n，4n，5n\)就是一个特例，可以考虑赋值法。

④ 当下标比较小的时候，直接计算比变形求解要来的快。注意恰当的数学方法选择策略，防止思维定势。

比如在数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=3\)，\(a_{n+1}=\cfrac{3a_n}{a_n+3}\)，求\(a_4\)的值，

法1：由\(a_1=3\)和递推公式\(a_{n+1}=\cfrac{3a_n}{a_n+3}\)，直接计算\(a_2\)，\(a_3\)，\(a_4\)，速度要快的多。

法2：先利用倒数法求的通项公式\(a_n\)，再计算\(a_4\)，要比法1的思路慢一些。

四、等差数列的给出方式

• 直接给出：\(a_{n+1}-a_n=3\)
• 变形给出：\(S_{n+1}=S_n+a_n+3\)，即\(a_{n+1}-a_n=3\)；
• 变形给出：点\((a_{n+1}，a_n)\)在直线\(x-y-3=0\)上，则\(a_{n+1}-a_n=3\)；
• 运算给出：\((a_{n+1}+a_n)(a_{n+1}-a_n)=2(a_{n+1}+a_n)\)，\(a_n>0\)；
• 向量给出：\(\overrightarrow{P_nP_{n+1}}=(1，a_{n+1}-a_n)=(1，3)\)；
• 构造给出：

如\((n+1)a_n=na_{n+1}\)，构造得到，\(\cfrac{a_{n+1}}{n+1}=\cfrac{a_n}{n}\)，即\(\cfrac{a_{n+1}}{n+1}-\cfrac{a_n}{n}=0\)，即数列\(\{\cfrac{a_n}{n}\}\)为常数列；

再如\((n+1)a_{n+1}=na_n\)，构造得到，\((n+1)a_{n+1}-na_n=0\)，即数列\(\{n\cdot a_n\}\)为常数列；其他请参阅常见构造方法

五、典例剖析：

例1已知等差数列\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)，满足\(a_1+b_{10}=9\)，\(a_3+b_8=15\)，则\(a_5+b_6\)=______________.

分析：由已知得到，\(a_3+b_8=\cfrac{2a_3+2b_8}{2}\)

\(=\cfrac{(a_1+a_5)+(b_{10}+b_6)}{2}=\cfrac{(a_1+b_{10})+(a_5+b_6)}{2}\)

即\(15=\cfrac{9+(a_5+b_6)}{2}\)，解得\(a_5+b_6=21\)。
例2由正数组成的等差数列\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和分别为\(S_n\)和\(T_n\)，且\(\cfrac{a_n}{b_n}=\cfrac{2n-1}{3n-1}\)，则\(\cfrac{S_5}{T_5}\)=______________。

分析：\(\cfrac{S_5}{T_5}=\cfrac{5a_3}{5b_3}=\cfrac{a_3}{b_3}=\cfrac{2\times 3-1}{3\times 3-1}=\cfrac{5}{8}\)。

例3在等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=-2018\)，其前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(\cfrac{S_{12}}{12}-\cfrac{S_{10}}{10}=2\)，则\(S_{2018}\)的值等于【】