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B样条

什么是样条？

样条是通过一组指定点集而生成平滑曲线的柔性带。

什么是B样条？

B样条就相当于一个函数，这个函数在系数不同时就可以变化成各种曲线的形状。

B样条曲线

$Bezier$曲线的不足

• $n$次$Bezier$曲线：$n+1$个控制点

  $x(t)={\sum }_{i=0}^n{B}_i^n(t)b_i$

  
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全局性：牵一发而动全身，不利于设计

原因：基函数是全局的

样条曲线

• 分段的多项式曲线($Bezier$曲线)
  • 分段表达，具有局部性

样条曲线的统一表达：

• 形式类比：每个控制顶点用一个基函数进行组合

  $x(t)={\sum }_{i=0}^n{N}_{i,k}(t)d_i$

• 性质要求：
  • 基函数须局部性(局部支集) 移动某一段控制点的位置只会影响该段曲线的形状，其他段的曲线不受影响。
  • 基函数要有正性+权性
  • $...$

B样条的产生

启发：

• $Bernstein$基函数的递推公式：

  $B_i^n(t)=(1-t)B_i^{(n-1)}(t)+t{B}_{i-1}^{(n-1)}(t)$，其中 B 0 0 ( t ) = 1 , B i n ( t ) = 0 若 i ∉ { 0 , . . . , n } B_0^0(t)=1,B_i^n(t)=0若i\notin\{0,...,n\} B00​(t)=1,Bin​(t)=0若i∈/​{ 0,...,n}

• 思路：
  • 局部处处类似定义，由一个基函数平移得到
  • 高阶的基函数由2个低阶的基函数"升阶"得到
    • 利于保持一些良好的性质，比如提高光滑性

关键思想：

• 以三次为例
  • 我们定义一个基函数$b(t)$
  • 特性：
    • $b(t)$是$C^2$连续
    • $b(t)$是分段多项式，3次
    • $b(t)$具有局部支持特性
    • 重复平移$b(t+i)$形成一个统一的分区
    • $b(t)\ge 0$,对于所有的$t$

B样条曲线的每个控制节点都有一个节点参数：节点向量

$k$阶均匀B样条基函数被定义为：
$$N_i^0(t)=\{\begin{array}{l}1,i\le t＜i+1\\ 0,其他\end{array}$$

B样条的优势

1. 保留了$Bezier$曲线的优势
2. 可局部修改，调整某一控制点的时候，不会影响到整条曲线。
3. 控制多边形与曲线的逼近程度较好
4. 曲线拼接时比$Bezier$方便

B样条曲线

一般表达：

有$n+1$个控制点$P_i(i=0,1,...,n)$和一个节点向量 T = { t 0 , t 1 , . . . , t m } T=\{t_0,t_1,...,t_m\} T={ t0​,t1​,...,tm​},依次连接这些控制点可以构成一个特征多边形，$k+1$阶($k$次)B样条的表达式如下所示，而且$2\le k\le n+1$,必须满足$m=n+k+1$，一般情况下$t_0=0,t_m=1$。所以定义域是闭区间[0,1]
$$P(t)=\sum _{i=0}^n{P}^i{F}_i^k(t)t\in [t_{k-1},t_{n+1}]$$
其中$F_i^k(t)$是k次B样条基函数，$k$表示基函数的次数，公认的是$deBoor-Cox$递推定义。其内容简单来说是由0次构造1次，由1次构造2次，由2次构造3次，以此类推。

递推定义：
$$\{\begin{array}{l}{F}_i^0(t)=\{\begin{array}{l}1,t_i\le t\le t_{i+1}\\ 0,其他\end{array}\\ F_i^k(t)=\frac{t-t_i}{t_{i+k}-t_i}{F}_i^{k-1}(t)+\frac{t_{i+k+1}-t}{t_{i+k+1}-t_{i+1}}{F}_{i+1}^{k-1}(t)\\ \\ 约定\frac{0}{0}=0\end{array}$$

零次B样条

一次B样条

二次B样条

三次B样条

B样条的曲线递推图像

B样条的定义

为了理解$p>0$时计算$N_{i,p}(u)$的方法($p$为次数)，我们使用三角计算格式。所有节点区间在左边第一列，所有零次基函数在第二列。见下图：

为了计算$N_{i,1}$，需要$N_{i,0}(u)和N_{i+1,0}(u)$。因此，我们可以计算$N_{0,1}(u),N_{1,1}(u),N_{2,1}(u)$等等。所有这些$N_{i,1}(u)$写在第三列。一旦所有$N_{i,1}(u)$计算完毕，我们可以计算$N_{i,2}(u)$并将其放在第四列。继续这个过程直到所有需要的$N_{i,p}(u)$计算完毕。

因为$N_{i,1}(u)$是从$N_{i,0}(u)$和$N_{i+1,0}(u)$计算的，因此可以得出$N_{i,1}(u)$在$[u_i,u_{i+2})$上是非零的。

由上图得出结论：基函数$N_{i,p}(u)$在[$u_i,u_{i+p+1}$)上非零

由上图可得出：在任何一个节点区间$[u_i,u_{i+1})$，最多有$p+1$个$p$次基函数非零，即$N_{i-p,p}(u)，N_{i-p+1,p}(u)，N_{i-p+2,p}(u)，...,N_{i-1,p}(u)$和$N_{i,p}(u)$

B样条基函数的主要性质

1. 局部支撑性：

$$B_{i,k}(u)=\{\begin{array}{l}\ge 0u\in [u_i,u_{i+k+1}]\\ =0otherwise\end{array}$$

​ 而$Bezier$在整个区间非0。反过来，对每一个区间$(u_i,u_{i+k+1})$上最多有$k+1$个基函数在其上非零

2. 权性：

$$\sum _{i=0}^n{B}_{i,k}(u)=1u\in [u_k,u_{n+1}]$$

3. 连续性：

​ $B_{i,k}(u)$在$r$重节点处的连续阶不低于$k-1-r$

4. 分段参数多项式：

​ $B_{i,k}(u)$在每个长度非零的区间$[u_i.u_{i+1})$上都是次数不高于$k-1$的多项式，它在整个参数轴上是分段多项式

B样条函数的主要性质

1.局部性:

​ $k$阶B样条曲线上的一点至多与$k$个控制顶点有关，与其它控制顶点无关

​ 移动曲线的第$i$个控制顶点$P_i$,至多影响到定义在区间上那部分曲线的形状，对曲线其余部分不发生影响

2.变差缩减性：

​ 平面内$n+1$个控制顶点构成B样条曲线$P(t)$的特征多边形。在该平面内的任意一条直线与$P(t)$的交点个数不多于该直线和特征多边形的交点个数

3. 几何不变性：

​ B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关

4.凸包性：

​ B样条曲线落在$P_i$构成的凸包之中。其凸包区域小于或等于同一组控制顶点定义的$Bezier$曲线凸包区域

​ 凸包就是包含上边这6个顶点的最小凸多边形。凸多边形是把多边形的每条边延长，其它边都在它的同一侧

​ 该性质导致顺序$k+1$个顶点重合时，由这些顶点定义的k次B样条曲线段退化到这一个重合点；顺序$k+1$个顶点共线时，由这些顶点定义的k次B样条曲线为一直线段

B样条曲线类型的划分

1. 均匀B样条曲线

​ 当节点沿参数轴均匀等距分布，即$u_{i+1}-u_i=常数>0$时，表示均匀B样条函数

如： { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } \{0,1,2,3,4,5,6\} { 0,1,2,3,4,5,6}

​ 均匀B样条的基函数呈周期性。即给定n和k，所有的基函数有相同形状。每个后续基函数仅仅是前面基函数在新位置上的重复：
$$B_{i,k}(u)=B_{i+1,k}(u+\Delta u)=B_{i+2,k}(u+2\Delta u)$$
其中，$\Delta u$为相邻节点值的间距

​ 均匀B样条曲线没有保留$Bezier$曲线端点的几何性质，即不过控制点中的起点和终点，采用准均匀的B样条曲线则能够通过。

2. 准均匀B样条曲线

​ 与均匀B样条曲线的差别在于两端节点具有重复度k，这样的节点矢量定义了准均匀的B样条函数

均匀： u = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } u=\{0,1,2,3,4,5,6\} u={ 0,1,2,3,4,5,6}

准均匀： { 0 , 0 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 5 , 5 } \{0,0,0,1,2,3,4,5,5,5\} { 0,0,0,1,2,3,4,5,5,5}

3. 分段$Beizer$曲线

​ 节点矢量中两端节点具有重复度k，所有内节点重复度为k-1,这样的节点矢量定义了分段的$Bernstein$基

​ B样条曲线用分段$Bezier$曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独立性

4. 非均匀B样条曲线

​ 当节点沿参数轴的分布不等距，即$u_{i+1}-u_i\ne 常数时$，表示非均匀B样条函数

B样条曲面

B样条曲面方程为：
$$p(u,v)=\sum _{i=0}^m\sum _{j=0}^n{d}_{ij}{N}_{i,k}(u)N_{j,l}(v)$$
其中$u_k\le u\le u_{m+1},v_i\le v\le v_{n+1}$,B样条基函数$N_{i,k}(u)(i=0,1,...,m)$与$N_{j,l}(v)(j=0,1,...,n)$分别由节点矢量$U和V$按$deBoor-cox$递推公式计算，$d_{i,j}$构成一张控制网格，称为B样条曲面的特征网格

最终实现的结果为：

其中节点向量通过哈特利-贾德方法获得。

困惑点：使用Hartley-Judd(哈特利-贾德)方法获得节点向量没有看明白