文章目录
- sigmoid函数
- tanh函数
- relu函数
- maxout函数
- softplus函数
- softmax函数
sigmoid函数公式:
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值域在[0,1]之间，图像y轴对称。
sigmoid函数求导:
从sigmoid函数的导数形式可知，其导数最大值为0.25，因此sigmoid函数容易引起梯度消失。
tanh函数公式:
值域[-1,1]。
tanh函数求导:
relu函数公式:
relu函数求导:
在输入为正数的时候，函数导数为1，因此不存在梯度消失问题。作为激活函数时网络模型的收敛速度远快于sigmoid和tanh。
假如一个简单的神经网络输入层有x1和x2两个神经元，下一层有4个神经元，x1和x2分别与4个神经元做运算，得到4个输出值，如果我们使用relu函数，那么这4个输出值应当都要经过relu函数计算得到4个激活值。而使用Maxout则是将这个4个值分成两组，即一个组里2个神经元，分别取每组的最大值，最后只输出两个最大值。
Maxout学习出来的激活函数是分段的线性函数。当分组中神经元数量越多时，分段函数的分段就越多，拟合能力越强。事实上relu就可以看成是Maxout函数的一种特殊情况。
Maxout函数在每次反向传播时总是将分组中其他较小的值当做不存在，只更新最大值所在的神经元权重参数。这也与relu类似，relu每次反向传播时对神经元值为0的神经元权重参数不更新，因为该神经元梯度被计算为0。
softplus函数公式:
Softplus函数可以看成是ReLU函数的平滑版本。Softplus函数是对全部数据进行了非线性映射，是一种不饱和的非线性函数。它的收敛速度比ReLU函数要慢很多。但是计算量比relu函数要大，因此函数的导数计算起来较为复杂。
softplus函数求导:
softplus函数求导的结果正好是sigmoid函数。
softmax函数压缩一维向量中的每个元素在0到1之间，并且所有元素总和为1。softmax函数最好在分类器的输出层使用，用来预测输入物体属于某个类的概率。
softmax函数公式:
右边的矩阵中每一个元素sj的计算公式为:
Sj范围是(0,1)，所有的Sj的和为1。
我们可以将softmax解释如下:
其中y是输出的N个类别中的某个类(取值为1…N)。a是任意一个N维向量。最常见的例子是多类别的逻辑回归，输入的向量x乘以一个权重矩阵W，且该结果输入softmax函数以产生概率。
softmax函数求导:
对于softmax函数第i个输出关于第j个输入的偏导数为:
我们使用DjSi来表示这个偏导数。所有偏导数组成了一个雅可比矩阵:
计算DjSi时我们必须分别考虑两种情况:
- 如果i等于j:
- 如果i不等于j:
所以softmax函数的导数为:
在文献中我们常会见到用克罗内克函数来表示softmax函数的导数:
则有:
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