频次： 1
出处： 2009-16、
知识树位置：
- 无穷级数
- 常数项级数
- 幂级数
- 幂级数展开
- 泰勒级数
- 麦克劳林级数
- 常用的麦克劳林级数展开式
- 麦克劳林级数
- 泰勒级数
- 幂级数展开
知识点内容：
定义
设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 ( x 0 − R , x 0 + R ) (x_0-R,x_0+R) (x0−R,x0+R) 上有定义，若
f ( x ) = ∑ x = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n f(x)=\sum_{x=0}^\infin a_n(x-x_0)^n f(x)=x=0∑∞an(x−x0)n
对任意的 x ∈ ( x 0 − R , x 0 + R ) x\in(x_0-R,x_0+R) x∈(x0−R,x0+R) 都成立，则称函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 ( x 0 − R , x 0 + R ) (x_0-R,x_0+R) (x0−R,x0+R) 上能展开为 x − x 0 x-x_0 x−x0 的幂级数.
若函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x = x 0 x=x_0 x=x0 处任意阶可导，则称幂级数
∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n \sum_{n=0}^\infin\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n n=0∑∞n!f(n)(x0)(x−x0)n
为函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x = x 0 x=x_0 x=x0 处的泰勒级数.
特别地， x 0 = 0 x_0=0 x0=0 处的泰勒级数 ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n \displaystyle\sum_{n=0}^\infin\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n n=0∑∞n!f(n)(0)xn 称为函数 f ( x ) f(x) f(x) 的麦克劳林级数.
常用的麦克劳林级数展开式
1、直接展开
1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 ⋯ + x n + ⋯ = ∑ x = 0 ∞ x n ， ( − 1 < x < 1 ) \dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3\cdots+x^n+\cdots=\sum_{x=0}^\infin x^n，(-1<x<1) 1−x1=1+x+x2+x3⋯+xn+⋯=x=0∑∞xn，(−1<x<1)
2、直接展开
1 1 + x = 1 − x + x 2 − x 3 + ⋯ + ( − 1 ) n x n + ⋯ = ∑ x = 0 ∞ ( − 1 ) n x n ， ( − 1 < x < 1 ) \dfrac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^nx^n+\cdots=\sum_{x=0}^\infin (-1)^nx^n，(-1<x<1) 1+x1=1−x+x2−x3+⋯+(−1)nxn+⋯=x=0∑∞(−1)nxn，(−1<x<1)
3、直接展开
e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ + x n n ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n n ! ， ( − ∞ < x < + ∞ ) e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infin\dfrac{x^n}{n!}，(-\infin<x<+\infin) ex=1+x+2!x2+3!x3+⋯+n!xn+⋯=n=0∑∞n!xn，(−∞<x<+∞)
4、直接展开
sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! ， ( − ∞ < x < + ∞ ) \sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots+\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infin\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}，(-\infin<x<+\infin) sinx=x−3!x3+5!x5−7!x7+⋯+(2n+1)!(−1)nx2n+1+⋯=n=0∑∞(2n+1)!(−1)nx2n+1，(−∞<x<+∞)
5、间接展开，由 sin x \sin x sinx 求导得
cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! ， ( − ∞ < x < + ∞ ) \cos x = 1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots+\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infin\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}，(-\infin<x<+\infin) cosx=1−2!x2+4!x4−6!x6+⋯+(2n)!(−1)nx2n+⋯=n=0∑∞(2n)!(−1)nx2n，(−∞<x<+∞)
6、间接展开，由 1 1 + x \dfrac{1}{1+x} 1+x1 积分得
ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x n n + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n − 1 x n n ， ( − 1 < x ⩽ 1 ) \ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots+\dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+\cdots=\sum_{n=0}^\infin\dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n}，(-1<x\leqslant1) ln(1+x)=x−2x2+3x3−4x4+⋯+n(−1)n−1xn+⋯=n=0∑∞n(−1)n−1xn，(−1<x⩽1)
题目集：
【2009-16】
设 a n a_n an 为曲线 y = x n y=x^n y=xn 与 y = x n + 1 ( n = 1 , 2 , . . . ) y=x^{n+1}(n=1,2,...) y=xn+1(n=1,2,...) 所围成区域的面积，记
S 1 = ∑ n = 1 ∞ a n ， S 2 = ∑ n = 1 ∞ a 2 n − 1 S_1=\sum_{n=1}^{\infin}a_n，S_2=\sum_{n=1}^{\infin}a_{2n-1} S1=n=1∑∞an，S2=n=1∑∞a2n−1
求 S 1 、 S 2 S_1、S_2 S1、S2 的值.
解：
由常数项级数一节知，
S 1 = 1 2 S_1=\dfrac{1}{2} S1=21
S 2 = ∑ n = 1 ∞ a 2 n − 1 = ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 n − 1 2 n + 1 ) = 1 2 − 1 3 + 1 4 − 1 5 + 1 6 − ⋯ S_2=\sum_{n=1}^\infin a_{2n-1}=\sum_{n=1}^\infin\Big(\dfrac{1}{2n}-\dfrac{1}{2n+1}\Big)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\cdots S2=n=1∑∞a2n−1=n=1∑∞(2n1−2n+11)=21−31+41−51+61−⋯
由
ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x n n + ⋯ \ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots+\dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+\cdots ln(1+x)=x−2x2+3x3−4x4+⋯+n(−1)n−1xn+⋯
令 x = 1 x=1 x=1，得
ln 2 = 1 − ( 1 2 − 1 3 + 1 4 ⋯ ) = 1 − S 2 S 2 = 1 − ln 2 \ln2=1-\Big(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\cdots\Big)=1-S_2\\ \ \\ S_2=1-\ln2 ln2=1−(21−31+41⋯)=1−S2 S2=1−ln2
综上， S 1 = 1 2 ， S 2 = 1 − ln 2 S_1=\dfrac{1}{2}，S_2=1-\ln2 S1=21，S2=1−ln2.
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