作者：蒋迅

在我订阅的博客中，我最喜欢的博主是约翰·库克 (John Cook)。库克博士是一位应用数学家。他有自己的资讯公司，为亚马逊、谷歌、微软和安进，以及许多律师事务所、初创企业和小型企业提供咨询。他的专业是应用数学和数据安全。而对于我来说，他最大的亮点是他的博客，通常是每天一到两篇。他的博文比较随意，有时候很短，深度不一定很深，但有他的思想火花。有时候只是他看别人文章后的一点领悟。这在其他人的文章里是见不到的。对了，他有很多Python小程序，这种利用程序做研究的办法值得读者学习。

Drag equation exponent variation
https://www.johndcook.com/blog/2023/06/26/drag-equation-exponent/

质量为 的下落物体的运动由 给出，其中术语 考虑了空气阻力引起的阻力。在简单的物理假设下可以推导出 ，但如果我没记错的话，在某些情况下 的其他值可能更现实。当 或 时，上面的微分方程可以用初等函数来求解，否则则不能。然而，我们可以证明，对于 的所有值，物体都达到了最终速度，并且无需显式求解微分方程即可计算该速度。威廉·沃特豪斯在一篇一页的文章中证明了这一点。

Beta inequalities and cross ratios
https://www.johndcook.com/blog/2023/06/28/beta-inequalities-and-cross-ratios/

当我在安德森癌症中心工作时，我们花了很多计算周期来评估函数 。这个函数定义为从 随机变量中的样本大于来自 随机变量的样本的概率 。该函数通常位于运行数小时甚至数天的模拟的内循环中。我开发了更有效地评估此功能的方法，因为它是一个瓶颈。我发现了一个新的对称性 。还有更多好的性质。

Bounds on the incomplete beta function (beta CDF)
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/02/beta-cdf-bounds/

不完全贝塔函数由定义。之所以称为不完全，是因为积分极限不一定一直达到1。当 时，不完全贝塔函数就是贝塔函数 在上一篇文章中讨论过。不完全贝塔函数与贝塔随机变量的CDF成正比，比例常数为 。也就是说，如果 是 随机变量，则。上式的右侧通常称为正则化不完全贝塔函数。这就是分析师所说的。统计学家将其称为贝塔分布函数。

Upper and lower bounds on the beta function
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/02/beta-bounds/

贝塔函数 由定义，并且是归一化贝塔概率分布的常数。它通过 与贝塔函数相关。贝塔函数在应用程序中经常出现。然而，使用它可能具有挑战性，因此欢迎对该功能进行估计。

Enumerating monotone Boolean functions
https://www.johndcook.com/blog/2023/06/27/dedekind/

最近计算出了第9个戴德金数。什么是戴德金数？为什么仅计算其中的第9个戴德金数就很重要？单调布尔函数是单调的布尔函数，但单调于什么阶？当 和 是位序列时，我们如何定义 ？对输入进行排序的方法有很多种，但在这种情况下，如果 中的每一位都小于或等于 中的相应位，则传统的顺序是 。因此，如果 的第 位是1，则 的第 位也一定是1。

The 10th Dedekind number
https://www.johndcook.com/blog/2023/06/27/the-10th-dedekind-number/

第 个Dedekind数 是 个变量的单调布尔函数的数量。最近计算出了第9个戴德金数。 。但随着 的增加， 迅速增加， 约为1041。尽管精确计算戴德金数很困难 — 是在1991年计算的，现在是2023年 ——这些数字有一个明确的公式，并且人们对它们的渐近增长了解很多。这篇文章推测 可能是什么。相关阅读：

• https://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_number

Permutations and centralizers in Mathematica
https://www.johndcook.com/blog/2023/06/30/centralizer/

当我意识到我本周才使用群论时，我突然想到我很少使用群论。几天前，我需要知道4个元素的哪些排列可以逆转。如果 接受一个序列并将其反转，我需要找到所有排列 使得 用群论术语来说，4个元素的所有排列组成的群是对称群 。与 交换的元素子组是 的中心化子。所以我的任务是在 中找到 的中心化子。我如何向 Mathematica提出这个任务？

讯享网

Cayley graphs in Mathematica
https://www.johndcook.com/blog/2023/06/30/cayley-graphs-in-mathematica/

上一篇文章提到了群 ，这是一个包含四个元素的集合的所有排列的群。这篇文章将展示一种可视化这个群体的方法。

• https://www.johndcook.com/blog/2023/06/30/centralizer/

Floors and roots
https://www.johndcook.com/blog/2023/06/30/floors-and-roots/

使用floor函数，令人惊讶的是 。你相信这个结果吗？你觉得这个公式是否合理？在 中，为什么会选择8？选择 是很聪明的事情。

Multiplication via parabola
https://www.johndcook.com/blog/2023/06/29/multiplication-via-parabola/

这是使用抛物线 将两个正数 和 相乘的图形方法。从原点开始，向左移动 个单位，然后垂直上升到抛物线，画一个点。回到原点，向右移动 个单位，垂直上升到抛物线，再画一个点。连接这些点并查看它们与 轴相交的位置。该点是 。

th root of
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/01/nth-root-of-n/

函数 …在纯数学和应用数学中有许多应用。 可以写成 。结果之一是近似值

作者实现了Python代码来进行调查。

Activation functions and Iverson brackets
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/01/activation-functions/

神经网络激活函数将神经网络一层的输出转换为另一层的输入。这些函数是非线性的，因为万能逼近定理（该定理基本上说两层神经网络可以逼近任何函数）要求这些函数是非线性的。肯尼斯·艾佛森的括号表示法最初是为 APL 编程语言开发的，但得到了更广泛的采用，它在布尔表达式周围使用括号来指示函数，当表达式为真时，该函数为1，否则为0。使用这种表示法，Heaviside 函数可以简单地写为 。

Eccentricity of bivariate normal level sets
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/03/eccentricity-correlation/

假设你有一个具有相关性 的二元正态分布，其中

那么密度函数的水平集就是椭圆，椭圆的偏心率 与相关系数 的关系为

和

Three advantages of non-AI models
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/03/three-advantages-of-non-ai-models/

很难想象在没有神经网络的情况下做像Midjourney的图像生成这样的事情。ChatGPT 的文本生成也是如此。但很多业务任务并不需要人工智能，事实上，不使用人工智能会更好。有三个原因。

Technological schadenfreude
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/06/technological-schadenfreude/

昨天我的一条推文在推特上疯传，至少相对而言是疯传的。埃隆·马斯克（Elon Musk）可以在推特上发一条标点符号，从而获得更多数量级的流量，但按照我的标准，这是病毒式传播。“当你意识到自己应该学习但没有学习的东西时，那种幸灾乐祸的感觉现在已经过时了。”显然这引起了很多人的共鸣。

Complex differential equations
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/05/complex-ode/

复平面上的微分方程与实线上的微分方程不同。假设你有一个 阶线性微分方程，如下所示：。实数情况：如果 是实线开区间上的连续实值函数，则该区间上有 个线性独立解。系数不需要可微才能使解可微。复数情况：如果 是实数线上连通开路上的连续复值函数，则在该区间内可能不存在 线性独立解。如果 都是解析的，那么确实有 个独立解。但是，如果 中的任何一个仅仅是连续的而不是解析的，那么独立解的数量将少于 。可能有多达 个解，也可能根本没有任何解。

Convert LaTeX to Microsoft Word
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/05/convert-latex-to-microsoft-word/

我几乎所有文档都是用LaTeX创建的，甚至是在Word中创建更容易的文档。原因是，即使用Word编写特定文档会更容易，但如果所有内容都用LaTeX编写，我的工作流程会更高效。LaTeX制作小型纯文本文件，可以很好地进行版本控制和搜索，并且我可以使用用于编写代码和执行其他操作的同一编辑器来编辑它们。通常我会向客户发送只读文档。他们不知道也不关心什么程序创建了我发送给他们的PDF。他们无法编辑我的报告这一事实是一个功能，而不是一个错误：如果我要签署某项内容，我需要确保它不包含其他人所做的任何我不知道的更改。但有时我确实需要向客户发送他们可以编辑的文件，这通常意味着Microsoft Word。律师特别需要Word文档。可以使用LaTeX创建PDF并将内容复制并粘贴到Word文档中。这是可行的，但你必须重做所有格式。更好的方法是使用Pandoc。命令“pandoc foo.tex -o -s foo.docx”会将LaTeX 文件foo.tex直接转换为Word文档foo.docx。你可能需要稍微修改一下Word文档，但与通过PDF从LaTeX转换为 Word相比，它会保留更多的原始格式。相关软件：

• https://pandoc.org/

Best line to fit three points
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/07/minmax-line-three-points/

假设你想要将一条线拟合到三个数据点。如果没有一条线完全穿过这些点，你可以做出的**妥协是什么？切比雪夫建议最好的办法是找到最小最大线，即最小化最大误差的线。也就是说，对于每条候选线，找到每个点到该线的垂直距离，并取这三个距离中最大的一个作为该线拟合程度的度量。最好的线是最小化该措施的线。请注意，这与进行线性回归时得到的线不同。线性回归最小化每个点到直线的平均垂直距离平方。当你至少拥有中等数量的数据时，这是标准方法，这是有原因的，但当你只有三个数据点时，使用最小最大方法是有意义的。

Cosine power approximation to Gaussian density
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/05/normal-approximation/

几年前，我写过如何通过移动和缩放余弦函数来对高斯密度进行适当的近似。这一观察至少可以追溯到1961年。事实证明，通过将余弦项提高幂，你可以做得更好。你不仅可以获得良好的近似值，还可以获得相同形式的上限和下限。

What good is a DE once you have the solution?
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/04/useful-de/

在微分方程的本科课程中，你会看到一个方程，你会找到一个解。可以合理地假设微分方程只是一个需要克服的障碍，一旦获得解，微分方程就完成了它的工作并且可以被丢弃。问一个函数是否满足微分方程似乎是一种倒退。这是落后的，但这并不意味着这是一个坏主意。知道您感兴趣的函数满足一个很好的微分方程可能非常有用。（为任何函数构造微分方程都很简单；关键是发现一个好的微分方程，即函数及其导数之间的简单关系。）下面的一篇博文给了这样一个例子：

• https://www.johndcook.com/blog/2023/07/04/halleys-method/

Lehman’s inequality, circuits, and LaTeX
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/06/lehmans-inequality-circuits-and-latex/

设 和 为正数。那么雷曼不等式为

这个不等式可以通过分析来证明，但雷曼的证明很有趣，因为他使用了电路。本文提供了使用LaTeX中的Circuitikz包绘制电路的LaTeX代码。网址：

• https://ctan.org/pkg/circuitikz

Contraharmonic mean quirk
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/06/contraharmonic-mean-quirk/

给定两个正数 和 ，它们的反调和平均值为 。该均值具有不寻常的特性，即增加两个输入之一可能会降低均值。如果对 求偏导数，您会发现当 时它为零。因此，当 相对于 较小时，反调和平均值是 的递减函数。相关阅读：

• https://en.wikipedia.org/wiki/Contraharmonic_mean

Circular, hyperbolic, and elliptic functions
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/09/jacobi-trig/

这篇文章将探讨三角函数和双曲三角函数与雅可比椭圆函数的关系。有六个循环函数： 、 、 、 、 和 。有六个双曲函数：只需在每个循环函数的末尾添加一个“h”即可。椭圆函数有无数个，但我们将重点关注12个椭圆函数，即雅可比函数。

Relating perimeter, inner radius, outer radius, and sides of a triangle
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/15/perimeter-radius-sides/

假设三角形 有边 和 。设 为半周长，即周长的一半。令 为内半径，即可以容纳在 内的最大圆的半径。令 为外半径，即可以包围 的最小圆的半径。然后三个简单的方程将 和 联系起来。

When does a function have an addition theorem?
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/14/addition-laws/

哪些函数有加法定理？在回答这个问题之前，我们需要更准确地了解加法定理是什么。我们已经说过， 的加法定理将 与 和 联系起来。但我们所说的“关联”到底是什么意思呢？什么才算是关系？

How an LLM might leak medical data
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/23/ai-leak-medical-data/

机器学习模型有时会记住训练数据。在正确的提示下，模型可以逐字返回部分训练数据。如果一个大型语言模型是根据去识别化的医疗数据以及与医疗数据重叠的数据进行训练的，那么它可能会泄露一个人的病史详细信息。我并不是说任何特定的语言模型都会泄漏数据，但如果你正在培训语言模型，则需要注意这一点。

How rare is it to encounter a rare word?
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/23/rare-words/

书面汉语有数万个字符。但大多数可用字体仅包含大约6 至12000个常用字符，可以满足日常用户的需求。然而，在许多专业领域的出版物和信息交流中，每个文档中都需要一些不常见字体的生僻字符。这里有一个悖论：需要生僻词是很常见的。生僻字不就是生僻字吗？当然是，但是需要一些罕见单词（而不仅仅是特定的罕见单词）的可能性可能很大，特别是在冗长的文档中。相关阅读：

• https://www.tug.org/TUGboat/tb24-3/wong.pdf Typesetting Rare Chinese Characters in LaTeX

Extending harmonic numbers
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/25/extending-harmonic-numbers/

对于正整数 ，第 个调和数定义为前 个正整数的倒数之和： 。我们如何扩展这个定义以使 不必是正整数？

Every Japanese prefecture shrinking
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/27/japanese-population/

众所周知，日本的人口多年来一直在减少，所以我对最近的一则标题感到有点困惑，称日本47个都道府县的人口都在减少。尽管全国人口在下降，但迄今为止，全国47个都道府县的人口并未同时下降。这很有意义吗？其实，是的。

Finding the imaginary part of an analytic function from the real part
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/28/harmonic-conjugate/

复变量 的函数 可以分解为实部和虚部： 其中 和 是实数， 和 是两个实值的实值函数。假设给定 并且您想要找到 。函数 称为 的调和共轭。

Variance of binned data
https://www.johndcook.com/blog/2023/07/31/sheppard/

假设你的数据由于某种原因已被汇总到宽度为 的箱中。没有原始数据，只有每个箱中的计数数。你无法准确找到数据的样本均值或样本方差，因为你实际上没有数据。但你能做的最好的是什么？

The cobbler’s son
https://www.johndcook.com/blog/2023/08/04/the-cobblers-son/

有句老话说“鞋匠的儿子没有鞋子”。它通常意味着我们可以忽略为自己做一些为他人做的事情。知乎上有人在讨论这句话的意思。似乎他们都没有得到这句话的真谛。作者一直在写一些供他个人使用的小程序，这些是他一直想做但最近才开始做的事情。知乎上的链接：

• https://www.zhihu.com/question//answer/

Solved problems becoming unsolved
https://www.johndcook.com/blog/2023/08/04/solved-problems/

一旦问题被认为“解决”了，人们对这个问题的兴趣就会直线下降。“已解决”的问题可能并未完全解决，但已充分解决，以致该问题不再流行。实际问题仍然存在，但兴趣转移到了其他地方。

Creating a Traveling Salesman Tour of Texas with Mathematica
https://www.johndcook.com/blog/2023/08/10/texas-tour/

旅行推销员之旅使用最短路径访问目的地列表。有一种显而易见的方法可以找到连接 点的最短路径：尝试所有 路径，看看哪一条最短。不幸的是，这可能需要一段时间。德克萨斯州有254个县，因此通过暴力计算德克萨斯州县的游览将检查254个县！路径，超过 路径。理论上，大型旅行商问题是无法解决的 在实践中，这些问题通常可以很快得到解决。通常情况下，关键是给自己一点宽松的空间，寻找接近**的解决方案。

Spherical coordinate Rosetta Stone
https://www.johndcook.com/blog/2023/08/12/spherical-coordinate-rosetta-stone/

如果您只见过球坐标的一种定义，您可能会惊讶地发现球坐标有多种约定，不只有两个约定。这篇文章将涵盖三个惯例，称为物理的、数学的和地理的。罗塞塔石碑是一块制作于公元前196年的花岗闪长岩石碑，原本只是一块刻有古埃及法老托勒密五世诏书的石碑，但这块石碑同时刻有同一段内容的三种不同语言版本，让近代的考古学家得以有机会对照各语言版本的内容后，解读出已经失传千余年的埃及象形文之意义与结构，而成为今日研究古埃及历史的重要里程碑。作者用罗塞塔石碑来比喻球坐标的三种定义。相关链接：

• https://en.wikipedia.org/wiki/Rosetta_Stone

Simple way to distribute points on a sphere
https://www.johndcook.com/blog/2023/08/12/fibonacci-lattice/

在球体上均匀放置点是一个难题。一般来说这是不可能的，所以你要尽可能均匀地分配分数。结果根据您测量点分布均匀程度的方式而有所不同。然而，有一种快速而简单的方法来分配点，这种方法可能足够好，具体取决于您的应用程序，称为斐波那契网格。相关阅读：

• https://observablehq.com/@meetamit/fibonacci-lattices
• https://www.johndcook.com/blog/2023/08/09/random-points-hypersphere-orthant/

Fake primes
https://www.johndcook.com/blog/2023/08/21/fake-primes/

有人问质数中数字的分布。看起来0是最不常见的数字，1是最常见的数字。Dan Piponi回答说：“这可能只是密度与素数相似的数字集合的一般属性以及素数以1、3、7或9结尾的事实的组合”，并通过证明“假素数”有支持这一点。与实际素数非常相似的数字分布。他通过从 开始并生成以1、3、7 或9结尾的附近随机整数来生成第 个假素数。看起来这个假质数函数对于研究更多问题很有用。

Curvature at Cairo
https://www.johndcook.com/blog/2023/08/27/curvature-at-cairo/

在《万有引力》一书第309页上有一个有意思的插图。该图以埃及开罗为中心，包含边长为城市之间距离的三角形。三角形仅使用距离来计算，而不是通过测量角度本身来计算。每个三角形的几何形状都是欧几里得的：给出三个边长就可以确定图形的所有特征，包括角度。它们属于给定顶点的三角形（即 开罗）。把它们放置在平坦的表面上，它们无法拼凑到一起。

Calculating the intersection of two circles
https://www.johndcook.com/blog/2023/08/27/intersect-circles/

给定两个圆的方程，如何判断它们是否相交？如果它们确实相交，您如何找到相交点？MathWorld给出了一个推导，但我想通过两种方式在其中添加推导。首先，我想更明确地说明解决方案的数量。其次，我想让解决方案更加通用。相关链接：

• https://mathworld.wolfram.com/Circle-CircleIntersection.html

Area and volume of hypersphere cap
https://www.johndcook.com/blog/2023/08/09/hypersphere-cap/

球冠是球体在某个水平面上方的部分。例如，地球的极地冰盖是某个纬度以上的区域。纬度 上方的区域为 。其中 是地球半径。纬度是从赤道向上的角度。相关链接：

• https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_cap

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