指数与对数函数图像（指数与对数函数图像能变换得到的条件）

科技前沿 • 2025-05-07 16:56 • 阅读 50

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 <p id="349IF06G">函数y=7x³+78lnx的图像示意图</p><p id="349IF06I"><strong>主要内容：</strong></p><p id="349IF06J"> 本文主要介绍函数的y=7x³+78lnx的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，并通过导数计算函数的单调区间和凸凹区间，同时简要画出函数的示意图。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1025%2F789d9a65j00slvc14008rd000k000b8m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="349IF06N"><strong>※.函数的定义域</strong></p><p id="349IF06O"> 根据函数特征，对于对数lnx，有x&gt;0，所以函数y=7x³+78lnx的定义域为：（0，+∞）。</p><p id="349IF06Q"><strong>※.函数的单调性</strong></p><p id="349IF06R"> 因为函数y1=78lnx在定义域上为增函数，函数y2=7x³为三次函数也为增函数，所以二者的复合函数y=7x³+78lnx在定义域上为增函数。</p><p id="349IF06S">本题还可以通过导数知识来解析函数的单调性，步骤如下。</p><p id="349IF06T">y=7x³+78lnx，对x求导，有：</p><p id="349IF06U">dy/dx=3*7x²+78/x，可知：</p><p id="349IF06V">当x∈(0，+∞)时，dy/dx&gt;0，函数为增函数。</p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1025%2F3cj00slvc1400asd000k0009zm.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="349IF072"><strong>※.函数的凸凹性</strong></p><p id="349IF073">对dy/dx=3*7x²+78/x继续求导数，有：</p><p id="349IF074">d^2y/dx^2=6*7x-78/x².</p><p id="349IF075">令d²y/dx²=0，则6*7x-78/x²=0，</p><p id="349IF076">求出x=(1/7)³√637≈1.23，此时函数的凸凹性为：</p><p id="349IF077">(1)当x∈(0, (1/7)³√637]时，d²y/dx²&lt;0，函数为凸函数;</p><p id="349IF078">(2)当x∈((1/7)³√637,+∞)时，. d²y/dx²&gt;0，函数为凹函数.</p><p id="349IF07A"><strong>※.函数的极限</strong></p><p id="349IF07B">Lim(x→0) 7x³+78lnx=-∞；</p><p id="349IF07C">Lim(x→+∞) 7x³+78lnx=+∞；</p><p id="349IF07E"><strong>※.函数的五点图</strong></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1025%2F4c07d8e1j00slvc14000wd000k000b9m.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p><p id="349IF07H"><strong>※.函数的示意图</strong></p><p class="f_center"><img src="https://nimg.ws.126.net/?url=http%3A%2F%2Fdingyue.ws.126.net%2F2024%2F1025%2Fb7b416bcj00slvc14000wd000je00chm.jpg&thumbnail=660x&quality=80&type=jpg"/><br/><br/></p>

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