2025年指数与对数的运算教案（指数与对数的知识点）

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研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到部分教师未有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

1.内容

无理数指数幂的概念与运算性质．

2.内容解析

     对于无理数指数幂的认识,教科书安排了一个探究栏目，从具体的开始．假设有意义，根据有理数指数幂的意义，利用计算工具，由的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有理数），计算相应的的值,并填入表中．可以发现，当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，相应的都趋向于同一个数．这时，从差趋向于0，也可以进一步说明都趋向于同一个数，这个数就是．也就是说，是一串逐渐增大的有理数指数幂…和另一串逐渐减小的有理数指数幂…逐步逼近的结果．由于实数与数轴上的点一一对应，这一过程也可以在数轴上标示出来（如教科书图4.1-1）．逐步逼近后，根据我们的想象和推断，这个点在数轴上存在，而且是唯一的，它是一个确定的实数,这个数就是．

  无论是认识,还是认识，为了认识这些数的意义，我们在数轴上先选取这个数附近一个小区间内的数，通过不断缩小区间的长度，让区间端点的值从区间的左、右两个方向，即从左侧不断增大的方向（单调递增），以及从右侧不断减小的方向（单调递减），逐渐向中间逼近，在“单调有界数列必有极限”的基本事实支持下，想象并判定，不仅在数轴上确实存在，而且唯一. 这种研究问题的方法是现代数学中常用的方法：选取点所在的一个邻域，运用无限分割的方法，将点所在区间不断缩小，得到区间套，然后运用极限，得到研究问题的答案。

       教科书接下来安排了一个“思考”栏目，让学生类比的探究过程，探究。也是一个确定的实数，在数轴上有唯一的点与它对应．

     在上述研究的基础上，教科书给出结论：一般地，无理数指数幂（a＞0，α为无理数）是一个确定的实数．这个结论使以后能在实数范围内定义指数函数，在区间（0，+∞）内定义对数函数．这样，我们把指数幂（a＞0）中指数x的取值范围由整数拓展到有理数，并进一步拓展到实数：任何正数的实数指数幂是一个确定的实数．

   应当注意的是，在指数幂中，通常要限定a＞0这个条件. 这是为了保证后续的指数函数y=对于任意实数x都有意义，因为只有正数的任何实数次幂才都有意义。如果底数是0，那么指数就不能为0或负数，否则就没有意义；同样，如果底数是负数，指数为，仍然没有意义.

   对实数指数幂的运算性质，我们也可以进行推导，推导的基础是把任何一个实数表示为有理数序列的极限，通过极限运算和有理数指数幂的运算性质进行证明，这里从略．

   因此本节课的教学重点是：理解无理数指数幂的意义.

二、目标与目标解析

1.教学目标

（1）通过类比无理数的形成过程，理解无理数指数幂的意义；

（2）掌握无理数指数幂的运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养.

达成如上目标的标志是：

（1）学生能通过一个无理数（如）的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，认识到相应的都趋向于同一个数；然后，从两个无理数指数幂的差（如）趋向于0，也可以进一步说明都趋向于同一个数，这个数就是。学生还可以用类似的方法解释的意义.

（2）学生能正确地完成无理数指数幂的运算.

三、问题诊断分析

    有理数指数幂的意义比较明显，它可以看成n次方根，但无理数指数幂的意义就没有那么明显．有理数扩充到实数的过程中，无理数的产生既有实际的背景，又有数学背景，如单位正方形对角线的长度．但是幂的指数由有理数推广到实数，指数变为无理数，很难有实际背景，这完全是数学理性思维的结果．不过这种推广，从思维的角度看，也是自然的．

在有理数推广到实数的过程中，我们通过有理数的不足近似值和过剩近似值,运用夹逼方法,认识了无理数,得出它的近似值，并说明它是无限不循环小数，给出是无理数的证明．同样，对于无理数指数幂,可以运用有理数推广到无理数的经验,通过有理数指数幂逐步逼近无理数指数幂的方法,认识无理数指数幂的意义.

    因此本节课教学难点是：理解无理数指数幂的意义.

    教科书通过“探究”中的表格，以及图4.1-1的数轴这两种方式展示逐步逼近的过程．表格展示数据,呈现具体的数值,非常醒目；数轴上表示数值可以从宏观、整体上把握变化的趋势，两者结合相得益彰．这样逐渐逼近的过程，比较直观，学生不难理解．通过逼近，使学生认识任何正数的实数次幂都是确定的实数这样一个结论．教学时，可以利用计算工具计算，将的不足近似值和过剩近似值逐步精确，从而更好地看到的不足近似值和过剩近似值逼近的过程；也可以利用信息技术工具作图，在数轴上将附近逐步放大，直观展示上述逼近过程，加深学生对于无理指数幂的理解．

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