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 <p>指数函数和对数函数</p><p>重点、难点：</p><p>重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。</p><p>难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数</p><p>y a x ，y log a x 在</p><p>a 1及 0 a 1两种不同情况。</p><p>1、指数函数：</p><p>y</p><p>x</p><p>且a</p><p>叫指数函数。</p><p>定义：函数</p><p>aa</p><p>0 1</p><p>定义域为 R ，底数是常数，指数是自变量。</p><p>为什么要求函数 y</p><p>a x 中的 a 必须 a</p><p>0且a</p><p>1 。</p><p>因为若 a</p><p>0时， y</p><p>4 x ，当 x</p><p>1</p><p>时，函数值不存在。</p><p>4</p><p>a</p><p>0 ， y 0x ，当 x</p><p>0 ，函数值不存在。</p><p>a 时， y</p><p>1 x</p><p>x 虽有意义，函数值恒为</p><p>1，但</p><p>1</p><p>对一切 y</p><p>1x 的反函数不存在，</p><p>因 为 要 求 函 数 y</p><p>a x 中 的</p><p>a</p><p>0且 a 1 。</p><p>x</p><p>1、对三个指数函数</p><p>y</p><p>2 x ， y</p><p>1 ，y</p><p>10x 的图象的</p><p>2</p><p>认识。</p><p>图象特征与函数性质：</p><p>图象特征</p><p>函数性质</p><p>（ 1）图象都位于</p><p>x 轴上方；</p><p>（ 1） x 取任何实数值时，都有 a</p><p>x</p><p>0 ；</p><p>2</p><p>0 1 ）； （ 2）无论 a 取任何正数， x 0</p><p>时， y 1 ；</p><p>（ ）图象都经过点（ ，</p><p>（ 3） y</p><p>2x ， y 10 x 在第一象限内的纵坐</p><p>（ 3）当 a</p><p>x 0，则 a x 1</p><p>1 时，</p><p>0，则 a x</p><p>1</p><p>标都大于 1，在第二象限内的纵坐标都小于</p><p>1，</p><p>x</p><p>1 y</p><p>2</p><p>x</p><p>x 0，则 a x</p><p>1</p><p>当 0</p><p>的图象正好相反；</p><p>a 1时，</p><p>0，则 a x 1</p><p>x</p><p>（ 4） y</p><p>2x ， y 10 x 的图象自左到右逐渐</p><p>（ 4）当 a 1 时， y</p><p>a x 是增函数，</p><p>上升， y 1</p><p>2</p><p>x a 1时，y a x是减函数。</p><p>当 0</p><p>的图象逐渐下降。</p><p>对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：</p><p>①所有指数函数的图象交叉相交于点（ 0，1），如y2x和 y10 x相交于(0，1)，当x0 时，y 10x 的图象在 y 2 x的图象的上方，当x 0，刚好相反，故有 10222及102 2 2。</p><p>1x</p><p>② y 2 x与y的图象关于 y 轴对称。</p><p>2</p><p>③通过 y 2x，y10 x，y1</p><p>2x</p><p>三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x（a0且a 1 ）的</p><p>示意图，如y 3x的图象，一定位于 y 2 x和 y 10 x两个图象的中间，且过点(0，1) ，从而 y 1</p><p>3x</p><p>也由</p><p>1关于 y 轴的对称性，可得y</p><p>3</p><p>2、对数：x</p><p>的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。</p><p>定义：如果b(</p><p>a 01)</p><p>，那么数 b 就叫做以 a 为底的对数，记作</p><p>b log a N</p><p>（ a 是底数， N 是</p><p>aN且a 真数， log a N 是对数式。）</p><p>由于 N a b</p><p>0故</p><p>log a N</p><p>中 N必须大于。</p><p>当N为零的负数时对数不存在。</p><p>（ 1）对数式与指数式的互化。</p><p>由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：</p><p>求 log 0.3252</p><p>4</p><p>log</p><p>52</p><p>分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成0.32x ，再改写为指数式就</p><p>4</p><p>比较好办。</p><p>解：设 log</p><p>52</p><p>0 .32x</p><p>4</p><p>则 0.32 x</p><p>5</p><p>2</p><p>4</p><p>8x</p><p>8 即</p><p>25</p><p>25</p><p>∴ x 1</p><p>2</p><p>即 log</p><p>5 2</p><p>0.32</p><p>4</p><p>1 2 1 2</p><p>评述： 由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。</p><p>如求 3x</p><p>5中的 x ，化为对数式 x log 3 5即成。</p><p>（ 2）对数恒等式：</p><p>由 a b</p><p>N (1) b log a N</p><p>(2)</p><p>将（ 2）代入（ 1）得 a log a N</p><p>N</p><p>运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。</p><p>log 1 2</p><p>计算：</p><p>3</p><p>3</p><p>1</p><p>l og 1 2 2</p><p>解：原式</p><p>3</p><p>3</p><p>（ 3）对数的性质：①负数和零没有对数； ② 1 的对数是零；③底数的对数等于 1。</p><p>（ 4）对数的运算法则：</p><p>1</p><p>3</p><p>lo g 1 2 2</p><p>3</p><p>。</p><p>① log a MN</p><p>log a M l og a N M ， N R</p><p>②</p><p>log a M</p><p>log a M log a N M ，</p><p>N R</p><p>N</p><p>③</p><p>log a N n</p><p>n l og a N N</p><p>R</p><p>④ log a</p><p>n</p><p>N</p><p>1</p><p>log a NNR</p><p>n</p><p>3、对数函数：</p><p>定 义 ： 指 数 函 数 y a x</p><p>( a 且 a 1)</p><p>的反函数</p><p>y log a x x (0, ) 叫做对数函数。</p><p>1、对三个对数函数 y</p><p>log 2 x ， y l og 1 x ，</p><p>2</p>