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知识点：

指数函数和对数函数

(1)定义

指数函数，y=a^x(a＞0，且a≠1)，注意与幂函数的区别．

对数函数y＝log_ax(a＞0，且a≠1)．

指数函数y=a^x与对数函数y=log_ax互为反函数．

(2)指数函数y=a^x(a＞0，且a≠1)与对数函数y=log_ax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如表1-2．

(3)指数方程和对数方程

指数方程和对数方程属于超越方程，在中学阶段只要求会解一些简单的特殊类型指数方程和对数方程，基本思想是将它们化成代数方程来解．其基本类型和解法见表1-3．

视频教学：

练习：

1．函数y＝log₃x的反函数是(　　)

A．y＝log13x　　　　　      B．y＝3^x

C．y＝as4alco1((13))x      D．y＝x³

2．函数y＝3^x(0＜x≤2)的反函数的定义域为(　　)

A．(0，＋∞)      B．(1,9]

C．(0,1)      D．[9，＋∞)

3．函数f(x)＝log₂(3^x＋1)的反函数y＝f^－1(x)的定义域为(　　)

A．(1，＋∞)      B．[0，＋∞)

C．(0，＋∞)      D．[1，＋∞)

4．函数y＝e^x＋1的反函数是(　　)

A．y＝1＋ln x (x>0)      B．y＝1－ln x (x>0)

C．y＝－1－ln x (x>0)      D．y＝－1＋ln x (x>0)

5．设a＝as4alco1((23))x，b＝as4alco1((32))x－1，c＝log23x，若x>1，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<< span=“”>b<< span=“”>c      B．b<< span=“”>c<< span=“”>a

C．c<< span=“”>a<< span=“”>b      D．b<< span=“”>a<< span=“”>c

课件：

教案：

学习目标

1.知道同底的指数函数与对数函数互为反函数,能以它们为例对反函数进行解释和直观理解,从而达成抽象逻辑的核心素养.

2.从观察图像到引出概念,培养学生观察、分析、探究问题的能力,数形结合思想的运用能力,提高由特殊到一般的归纳概括能力.从而达成数学抽象、数学运算的核心素养.

3.引导学生发现指数函数与对数函数的对立统一关系,并欣赏数形和谐的对称美.

自主预习

1.理解并掌握指数函数与对数函数的图像与性质.

2.掌握同底数指数函数与对数函数的图像.

3.数形结合,欣赏数形和谐的对称美.

4.理解反函数的概念.

知识梳理

1.一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有唯一的x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x).

2.一般地,函数y=f(x)的反函数记作y=f^-1(x).y=f(x)的定义域与y=f^-1(x)的值域相同,y=f(x)的值域与y=f^-1(x)的定义域相同,y=f(x)与y=f^-1(x)的图像关于直线y=x对称.

3.如果y=f(x)是单调函数,那么它的反函数也一定单调函数.如果y=f(x)是增函数,则y=f^-1(x)也是增函数;如果y=f(x)是减函数,则y=f^-1(x)也是减函数.

课堂探究

一、发现对称

例1　学生作图并判断函数y=2^x与y=、函数y=log₂x与y=lox的对称关系.

提出问题1:两个函数图像关系如何?

提出问题2:函数y=2^x与y=log₂x图像的关系?

提出问题3:观察两个对应值表,两组点的坐标,两组点的位置,两个函数图像之间各有什么关系?通过对比你得到什么结论?

提出问题4:关于直线y=x对称的两个点的坐标有什么关系?

提出问题5:根据函数y=与y=lox在同一坐标系内的图像,你又得到什么结论?

二、解释对称

分析函数y=a^x与y=log_ax的内在联系,并解释对称原因,要求学生自由讨论.

【注】由形的发现转入数的分析,是数形结合思想的重要体现,运用已有知识解释新问题,提高思维的深度.

总结:y=a^xx=log_ayy=log_ax

要求学生思考:以上两步交换顺序是否可以,即y=a^xx=a^yy=log_ax

强调:先互化后互换与先互换后互化都可以解释对称,但本质原因是x,y互换.

结论:指数函数与对数函数的图像关于直线y=x对称.此时,指数函数叫做对数函数的反函数,对数函数也叫做指数函数的反函数.

三、明确定义

指数函数与对数函数之间的这种关系并不是它们所特有的,有大量的函数之间具有这样的关系,我们称它们互为反函数.

1.反函数的定义:当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量.我们称这两个函数互为反函数.

函数f(x)的反函数通常用f^-1(x)表示.

说明:

(1)本质:x,y互换 ;

(2)记法:f^-1(x);

(3)注意:f(x)与f^-1(x)互为反函数.

2.举出一些有反函数的函数,如:一次函数,反比例函数.

提问:函数y=5x是否有反函数?如果有,反函数是什么?

课堂练习

1.求下列函数的反函数.

(1)f(x)=3^x;

(2)f(x)=log₆x.

　　2.已知函数f(x)的图像过(-2,1)点,则其反函数f^-1(x)的图像过点　　　. 

3.判断下列函数是否有反函数,若有,求出其反函数.

(1)

x	1	2	3	4
y	3	5	7	9

(2)

x	0	1	2	3
y	0	1	4	9

(3)

x	3	2	1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	1	4	9

核心素养专练

1.在同一平面直角坐标系中,函数y₁=a^-x,y₂=-log_ax(其中a>0且a≠1)的图像可能是(　　)

2.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=e^x-1,则当x<< span=“”>0时,f(x)=(　　)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.e^-x-1     B.e^-x+1

C.-e^-x-1     D.-e^-x+1

3.已知函数y=f与y=e^x互为反函数,函数y=g的图像与y=f的图像关于x轴对称,若g=1,则实数a的值为(　　)

A.-e     B.-     C.e     D.

4.已知点(2,9)在指数函数y=f(x)的图像上,则f^-1(27)=(　　)

A.     B.     C.3     D.4

5.若函数f(x)=log₂(x+1)+a的反函数的图像经过点(4,1),则实数a等于(　　)

A.1     B.2     C.3     D.4

参考答案

课堂探究

略

课堂练习

1.(1)f^-1(x)=log₃x　(2)f^-1(x)=6^x

2.(1,-2)

3.(1)有反函数　(2)有反函数　(3)没有反函数

核心素养专练

1.B　2.D　3.D　4.C　5.C

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