二阶、三阶矩阵求逆

科技前沿 • 2025-03-26 10:46 • 阅读 50

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矩阵 $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23}\\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$

一、行列式计算

$\left | A \right |=a_{11}\times a_{22}\times a_{33}+a_{12}\times a_{23}\times a_{31}+a_{13}\times a_{21}\times a_{32}-a_{31}\times a_{22}\times a_{13}-a_{21}\times a_{12}\times a_{33}-a_{11}\times a_{32}\times a_{23}$

二、代数余子式计算

$a_{ij}$ 的余子式就是去除第i行和第j列剩余矩阵的行列式。
代数余子式是余子式乘以-1的i+j次方。
例如 $a_{11}$ 的代数余子式就是 $M_{a_{11}}=(-1)^{1+1}\left | \begin{pmatrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} \right |$

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三、矩阵的逆

$A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}\begin{pmatrix} M_{a_{11}} & M_{a_{21}} & M_{a_{31}}\\ M_{a_{12}} & M_{a_{22}} &M_{a_{32}} \\ M_{a_{13}}& M_{a_{23}} & M_{a_{33}} \end{pmatrix}$

四、判断矩阵正定

矩阵正定是指矩阵的特征根都大于0，若大于等于0，则矩阵半正定。
判断矩阵的另一种方法是用顺序主子式判定，矩阵的k阶顺序主子式即为矩阵的前kxk了元素构成的矩阵。
矩阵的1到n阶顺序主子式都大于0 ，则矩阵正定。
矩阵的1到n阶顺序主子式都大于等于0 ，则矩阵半正定。
矩阵的1到n阶顺序主子式奇数阶小于0，偶数阶大于0 ，则矩阵负定。

二阶、三阶矩阵求逆

一、行列式计算

二、代数余子式计算

三、矩阵的逆

四、判断矩阵正定

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