状态方程的解

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1. 线性定常系统

1.1齐次方程的解

考虑 $n$ 维线性定常系统状态方程
$\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B} \boldsymbol{u}(t)，\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0}，t \geqslant t_{0}\tag{1}$

齐次状态方程是指输入为零的状态方程，即

$\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}(t)\tag{2}$

这是一个向量微分方程，其解法与标量一阶微分方程解法类似。标量一阶微分方程的齐次方程为
$\dot{x}(t)=a x(t), \quad x\left(t_{0}\right)=x_{0}, \quad t \geqslant t_{0}$

其解为
$x(t)=\mathrm{e}^{a\left(t-t_{0}\right)} x\left(t_{0}\right)$

式中，指数函数可以展开为一无穷级数
$\mathrm{e}^{a\left(t-t_{0}\right)}=1+a\left(t-t_{0}\right)+\frac{1}{2 !} a^{2}\left(t-t_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{1}{n !} a^{n}\left(t-t_{0}\right)^{n}+\cdots=\sum_{n=0} \frac{1}{n !} a^{n}\left(t-t_{0}\right)^{n}$

与之类似，一阶向量微分方程的齐次方程 $\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}(t)$ 的解有如下形式
$x(t)=e^{A\left(t-t_{0}\right)} x\left(t_{0}\right)\tag{3}$

式中
$\mathrm{e}^{\mathrm{A}\left(t-t_{0}\right)}={I}+A\left(t-t_{0}\right)+\frac{1}{2 !} A^{2}\left(t-t_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{1}{n !} A^{n}\left(t-t_{0}\right)^{n}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} A^{n}\left(t-t_{0}\right)^{n}\tag{4}$

经过数学证明，当 $\boldsymbol{A}$ 为实数阵，则上式收敛。式(4)中的无穷级数收敛式叫做矩阵指数。
该解是系统输入 $\boldsymbol{u}=0$ 时的解，故又称为零输入解或零输入响应。

1.2 非齐次方程的解

非齐次方程的解为
$x(t)=\mathrm{e}^{A\left(t-t_{0}\right)} x\left(t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t} \mathrm{e}^{A(t-\tau)} B u(\tau) \mathrm{d} \tag{5}$

可见由两部分组成。一部分是由初始状态引起的系统自由运动，叫做零输入响应。另一部分由控制输入 $u (t)$ 所产生的受控运动，叫做零状态响应。

1.3 线性定常系统的状态转移矩阵

状态转移矩阵起着状态转移的作用，用符号 $\Phi\left(t, t_{0}\right)$ 表示。一般而言，它不仅是时间 $t$ 的函数，也是初始时刻 $t_0$ 的函数。因此它是 $\times n$ 的二元时变函数矩阵。

定义

对于线性定常系统 $\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B} \boldsymbol{u}(t)，\boldsymbol{x}(t_{0})=\boldsymbol{x}_{0}，t \geqslant t_{0}\tag{6}$ 称满足如下矩阵方程
$\dot{\Phi}\left(t,t_{0}\right)=A \Phi\left(t,t_{0}\right), \quad \Phi(0)=I\tag{7}$

的解阵 $\Phi\left(t-t_{0}\right)$ 为系统的状态转移矩阵。易得 $\Phi\left(t,t_{0}\right)=\mathrm{e}^{A\left(t-t_{0}\right)}$ 。

2.线性时变系统

2.1 齐次方程的解

线性时变系统齐次方程可以表示为
$\dot{x}(t)=A(t) x(t), \quad x\left(t_{0}\right)=x_{0}\tag{8}$

其解为
$\begin{aligned} x(t)=&\left\{I+\int_{t_0}^{t} A(\tau) d \tau+\int_{t_0}^{t} A\left(\tau_{1}\right) \int_{t_{0}}^{\tau_{1}} A\left(\tau_{2}\right) d \tau_{2} d \tau_{1}\right.\\ &\left.+\int_{t_{0}}^{t} A\left(\tau_{1}\right) \int_{t_{0}}^{\tau_{1}} A\left(\tau_{2}\right) \int_{t_{0}}^{\tau_{2}} A\left(\tau_{3}\right) d \tau_{3} d \tau_{2} d \tau_{1}+\cdots\right\} x\left(t_{0}\right) \end{aligned}\tag{9}$

当 $A (t)$ 和 $\int_{t_{0}}^{t} A(\tau) d \tau$ 满足矩阵乘法可交换条件时，其解有以下闭合形式：
$x(t)=e^{\int_{t_{0}}^{t} A(t) d \tau} x\left(t_{0}\right)\tag{10}$

2.2 线性时变系统的状态转移矩阵

对于系统(8),称满足如下矩阵微分方程和初始条件
$\dot{\Phi}\left(t, t_{0}\right)=A(t) \Phi(t, t_0), \quad \Phi\left(t_, t_{0}\right)=\boldsymbol{I}\tag{11}$

的解阵 $\Phi\left(t_, t_{0}\right)$ 为系统的状态转移矩阵。与式(9)相对比，得到状态转移矩阵 $\Phi\left(t_, t_{0}\right)$ 的表达形式为
$\Phi\left(t, t_{0}\right)=I+\int_{t_{0}}^{t} A(\tau) d \tau+\int_{t_{0}}^{t} A\left(\tau_{1}\right)\left[\int_{t_{0}}^{\tau_1} A\left(\tau_{1}\right) d \tau_{2}\right] d \tau_{1}+\cdots, \quad\tag{12}$

2.3 非齐次方程的解

$x(t)=\Phi\left(t, t_{0}\right) x_{0}+\int_{t_0}^{t} \Phi(t, \tau) B(\tau) u(\tau) d \tau\tag{13}$

总结，评注

线性时变系统中状态转移矩阵依赖于初始时刻 $t_0$ ，而线性定常系统状态转移矩阵只依赖时间差 $t-t_0$ ,和初始时刻 $t_0$ 没有直接关系。
线性定常系统的状态转移矩阵总可以定出其闭合形式的表达式。而线性时变系统一般没有闭合形式。
状态转移矩阵(定常/时变)的构成可以借助一阶线性(定常/时变)齐次微分方程组的基本解阵来构造。基本解阵的求取属于线性微分方程组的知识，以后写一篇文章专门整理。