ols最小二乘法是什么-OLS最小二乘法是如何推导的

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一. 可解线性方程

01.问题

02.解决方法

二. 不可解情况-最小二乘问题

01.问题

02.求解公式

三. 最小二乘解的公式推导

推导思路

(一) 微方分方向推导过程

(二) 代数**迫近思想

两种推导方法的比较

四. QR分解优化最小二乘计算量

01.为什么要优化

02.什么是QR分解

03.QR分解优化最小二乘解公式

在机器学习的线性求解中，线性方程组往往不可解，
我们更多时候是求取一个最小二乘解，称为OLS(ordinary least squares)最小二乘法
最小二乘解公式因此成为机器学习的一个常用公式，
本文介绍什么是最小二乘解、最小二乘解的公式，
和最小二乘解公式的两种推导。
最后，讲解QR分解如何优化最小二乘解的实际计算。

一. 可解线性方程

01.问题

已知A，b，求一个x，使得 Ax =b
这里的A,x,b的大小分别为：
A : m*n矩阵
x : n*1列向量
b : m*1列向量

02.解决方法

在可解的情况下，
只要在左右两边乘以X的逆矩阵，
即有： $x=bA^{-1}$

二. 不可解情况-最小二乘问题

01.问题

当以上问题不可解时，即不存在这样一个 x 使Ax=b，

则退而求其次，
求一个 x，使 Ax -b 的平方误差和最小
即 Ax **迫近 b
该问题称为最小二乘问题

02.求解公式

上述问题求解公式为：
$x=(A^TA)^{-1}A^Tb$
该公式称为最小二乘解公式

三. 最小二乘解的公式推导

推导思路

公式推导有两个方向，
第一个是微积分方向，对总误差函数求偏导，令偏导为0，再联立解出x。
第二个方向是利用代数中的**迫近原理。

(一) 微方分方向推导过程

1.误差函数为：

$\begin{aligned} \textbf{E}(x)=& \sum \limits _{i=1}^{m}(A_ix-b_i)^2 \\ =& (Ax-b)^T(Ax-b) \end{aligned}$

2 . 求误差函数对x的偏导
先求单个x分量的偏导

$\begin{aligned} \dfrac{\partial E(x)}{\partial x_k}= & \dfrac{\partial\sum \limits _{i=1}^{m}(A_ix-b_i)^2 }{\partial x_k} \\ =& \sum \limits _{i=1}^{m}\dfrac{\partial(A_ix-b_i)^2 }{\partial x_k} \\ =& \sum \limits _{i=1}^{m}2(A_ix-b_i)\dfrac{\partial(A_ix-b_i)}{\partial x_k} \\ =& \sum \limits _{i=1}^{m}2(A_ix-b_i)A_{ik} \\=&2(Ax-b)^TA_{k_{col}} \end{aligned}$

则对x的总偏导为：

$\dfrac{\partial E(x)}{\partial x} = (2(Ax-b)^TA)^T = 2A^T(Ax-b)$

3 . 令偏导为0，联立解得x
令偏导为0，则可求得：

$\begin{aligned} \dfrac{\partial E(x)}{\partial x} &= 2A^T(Ax-b) = 0 \\ &\Rightarrow 2A^TAx-2A^Tb = 0 \\ &\Rightarrow A^TAx =A^Tb \\ &\Rightarrow x =(A^TA)^{-1}A^Tb \end{aligned}$

即有上述求解公式：

$x=(A^TA)^{-1}A^Tb$

(二) 代数**迫近思想

即可推出：

$\begin{aligned} & A^T(Ax-b) = 0 \\ \Rightarrow & A^TAx-A^Tb = 0 \\ \Rightarrow &A^TAx =A^Tb \\ \Rightarrow & x =(A^TA)^{-1}A^Tb \end{aligned}$

两种推导方法的比较

微分方法推导过程较为复杂，
但思路简洁，
对知识起点要求较低。
而代数方法，
在了解代数的基础上，基本就是一步到位,
随时手推，不必记公式。

四. QR分解优化最小二乘计算量

01.为什么要优化

最小二乘解公式 $x =(A^TA)^{-1}A^Tb$ 需要计算A^TA的逆矩阵，计算上会较为复杂，
更多时候，会使用QR分解来简化 $x =(A^TA)^{-1}A^Tb$ ,
使用QR分解，可以避开直接求A^TA的逆矩阵。

02.什么是QR分解

$A_{m*n} = Q_{m*n}*R_{n*n}$

03.QR分解优化最小二乘解公式

$\begin{aligned} x =&(A^TA)^{-1}A^Tb \\A^TAx =&A^Tb \\(QR)^T(QR)x =&(QR)^Tb \\R^TQ^TQRx =&R^TQ^Tb \\R^TRx =&R^TQ^Tb \\Rx =&Q^Tb \\x =&R^{-1}Q^Tb \end{aligned}$

R是一个上三角，计算逆矩阵更容易。
因此，用计算机计算最小二乘解，
更多时候是将A进行QR分解，
然后用公式 $x =R^{-1}Q^Tb$ 求得最小二乘解

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02.解决方法

二. 不可解情况-最小二乘问题

01.问 题

02.求解公式

三. 最小二乘解的公式推导

推导思路

(一) 微方分方向推导过程

(二) 代数**迫近思想

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