辗转相除法的原理

科技前沿 • 2025-03-23 11:23 • 阅读 48

大家好，我是讯享网，很高兴认识大家。辗转相除法又叫欧几里得辗转相除法，最早出现在公元前300年古希腊著名数学家欧几里得的《几何原本》》(第VII卷,命题i和ii)中。而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。而在现代数学中，这应该是属于数论的部分的。

要想解释辗转相除法的原理，需要先知道以下两点：
一、一个一般定理：
    如果a是任一整数而b是任一大于零的整数，则我们总能找到一整数q，使
                     a=bq+r
    这里r是满足不等式0<=r<b的一个整数。

二、最大公因子的表示方法：
    如果整数a和b的最大公因子是d，则表示为d=(a,b) （不知道现在教科书上是怎么表示的）

    给定a和b（a>=b)两个整数，求最大公因子d。
    根据上边给的定理，可以将a写成
    a=bq+r
    辗转相除法是告诉我们
    (a,b)=(b,r)
    即a和b的最大公因数和b和r（r是a除以b的余数）的最大公因数是相等的。

原理：因为对任意同时整除a和b的数u，有
      a=su，b=tu，
      它也能整除r，因为r=a-bq=su-qtu=(s-qt)u。
      反过来每一个整除b和r的整数v，有
      b=s'v , r=t'v
      它也能整除a，因为a=bq+r=s'vq+t'v=(s'q+t')v.
      因此a和b的每一个公因子同时也是b和r的一个公因子，反之亦然。这样由于a和b的全体公因子集合与b和r的全体公因子集合相同，所以a和b的最大公因子必须等于b和r的最大公因子，这就证明了上边的等式。即(a,b)=(b,r)。

辗转相除法的原理

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