LMSE-HK算法

科技前沿 • 2025-02-09 19:13 • 阅读 60

大家好，我是讯享网，很高兴认识大家。

H-K算法即通过最小均方误差求解最优权向量的过程，相较感知器算法固定增量的迭代，H-K算法可以在模式线性不可分的情况下停止迭代。那么代价呢就是需要计算高维逆矩阵，?进行分析。

对于给定的N个n维模式，如果数据线性可分，则必存在w(n+1维)使得下列成立：

将属于ω2的模式乘以(-1)，可得对于全部模式都有 $W^{T}x>0$ 的条件。

设两类模式的训练样本总数为N，写成增广形式，则有不等式组：

Xw> 0一定成立

其中0是零向量！

那么H-K算法就是求解 $W^{T}x=b$ 成立的最小w，其中b为大于0的N维列向量。因为 $W^{T}x$ 是一个超定方程，故方程没有唯一解，H-K算法的目的就是使用最小二乘法求解w的最小值。

采用梯度法，定义准则函数：

求的损失函数对w与b的偏导：

可得

这里X#称为X的伪逆，即只要求得b，就能解出w的值。

根据上述约束条件，在每次迭代中，b(k)的全部分量只能是正值。由J的准则函数式，J也是正值，因此，当取校正增量C为正值时，为保证每次迭代中的b(k)都是正值，应使偏导数为非正值。在此条件下，准则函数J的微分为：

满足如下条件：

由b的迭代式和微分，有：

将此式代入w=X#b，有：

令e(k) = X*w(k) – b(k)。

H-K算法的迭代过程如下：

设置初值b（1），所有分量均为正数，则：

w(1) = X#*b(1)

e(k) = X*w(k) – b(k)

w(k+1) = w(k) + X#*{C[Xw(k) – b(k) + |Xw(k) – b(k)|]}

= w(k) + CX#[e(k) + |e(k)|]

其中

X#e(k) = X#[Xw(k) – b(k)] = (XTX)-1XT[Xw(k) – b(k)]

= w(k) –X#b(k) = 0

因此

w(k+1) = w(k) + CX#|e(k)|

b(k+1) = b(k) + C[Xw(k) – b(k) + |Xw(k) – b(k)|]

= b(k) + C[e(k) + |e(k)|]

解答过程：

若e（k）>0，存在解，可以继续迭代逼近最优解。

若e(k)=0，得到最优解。

若e(k)全部分量全为0，无解

若e有的分量大于0,有的分量小于0 ,则在各分量都变成零,或者停止由负值转变成正值时,停止。