2025年渗流模型（Percolation ）

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1 标度行为

标度行为（Scaling）是现在复杂系统研究中的一个非常典型的现象，它体现为系统的若干宏观指标或者某个变量的分布函数满足具有不同幂指数的幂律行为。

也就是说，标度行为是一种现象，这种现象满足幂律分布。

2 渗流模型

2.1 什么是渗流？

2.2 渗流理论

渗流理论是随机图理论研究中的一个重要发现是存在出现巨大节点集群的临界概率。即网络具有临界概率 $p_{c}$ ,当不超过 $p_{c}$ 时，网络由孤立的节点集群组成,但是当超过 $p_{c}$ 时,巨大节点集群将扩展到整个网络。(临界概率 $p_{c}$ 和集群下面会介绍)

2.3 相变

2.4 渗流模型的讲解

举个简单的例子，我们考虑 ${\color {Red}L\times L}$ 的格子，我们一个一个地遍历白色格子，以概率为 $p$ 去给这些格子染色。我们到第一个格子，就抛一枚硬币，假设这枚硬币正反面不均匀，正面出现的概率为 $p$ ，反面出现的概率为 $1 - p$ 。

如果硬币出现正面，那么我就把当前格子染成黑色；如果硬币出现反面，那么我就不用管，让格子保留原来的白色。

如下图所示，是一个 $10\times10$ 的格子图：
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对上图进行染色后，如图所示：
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图中一共有8个不同的团簇（Cluster），因此我们用8种不同的颜色对它们进行染色。注意，橙黄色(第八行第一列)和红色(第七行第二列)两个格子没有相邻，因为他们是对角线的关系，而没有在上下左右四个方向之一相连。

我们知道概率 $p$ 是一个关键的参数，因为 $p$ 的值不同，黑色格子的密度也不同，即团簇的大小不一样。显然，当黑色格子密度大的时候，很容易形成团簇；如果密度小的话，格子之间很难形成团簇。

p取值不同，在100*100格子中形成团簇的效果

当 $p = 0.4$ 时：
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当 $p = 0.59$ 时：
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当 $p = 0.7$ 时：
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总结：

当 $p = 0.7$ 时候，我们用红色来标记最大的团簇。当 $p < 0.59$ 时，这些团簇较小，因为他们彼此不连通，所以我们需要用较多的颜色来标识这些团簇。当 $p > 0.59$ 时，团簇相对较大，所以涂色的种类也相对较少。当 $p = 0.59$ 时，既存在较大的团块，又用各种颜色来给他们染色。
$p = 0.59$ 是一个"奇点"，也就是临界值，这是科学家们经过在L趋于无穷时候，理论计算出来的一个数值，理论值为： $p_{c}=0.$ 。也就是说，当 $p > 0.59$ 时，系统开始出现渗流。

2.5 相变实验图解

横坐标：p的取值
纵坐标：最大的团簇的尺寸（方格数）

我们来做这样的实验，我让参数 $p$ 从0.1到0.9取不同的数值，然后我计算在每个不同取值p的时候，出现的最大的团簇的尺寸（方格数） $S_{max}$ ，我把 $p$ 当作横坐标最大团簇的尺寸数作为纵坐标。
由于系统是随机的系统，这样每次给定p后，我们计算的最大团簇尺寸都不一样。为了避免随机扰动，我们便进行系综平均（由于计算时间很长，每个参数我们只做了15次实验）。然后将不同系统尺寸(L的不同值)情况下的 $S_{max}-p$ 的曲线画出。
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无论L的取值，所有曲线都是单调递增的，并且随着L的增大，曲线递增得越陡。尤其是对于较大的L（如L=150），曲线就会在0.6附近发生严重的突变。这时，这种突变就成为相变。
由此推测，如果我们继续提高L的值，那么曲线会更抖而且相变点 $p$ 就会越接近 $p_c$ 。

2.6 团簇尺度分布

这里，我们来讨论一下渗流系统中各个团簇的尺寸的概率分布情况。
我们知道，渗流系统中每个团簇的尺度是不同的，为了表达出不同团簇的尺度的多样性，我们把团簇的尺寸看做一个随机变量，从而来研究这个随机变量的概率分布。
下面这张图展示当 $L = 150$ ，不同参数 $p$ 条件下，团簇尺度的概率分布情况：
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注意，这张图上的每一个数据点的物理意义是，在给定这个尺寸 $x$ 的情况下，有多少比例的团簇落于小区间 $x + d x$ 。
我们看到，随着 $p$ 增大越来越接近临界点0.59的时候，分布曲线就越来越接近一条直线。
注意，这是 ${\color{Orange}双对数坐标}$ ，也就是横坐标和纵坐标都取了对数，所以直线就意味着两个变量 $x$ 和 $y$ 满足幂律关系。针对 $p = 0.58$ 的情况下，它的尺度分布密度函数可以拟合为 $p (x) = 0.37 * x - 1.72$ 。

下图展示当 $p>p_{c}$ 的分布情况：
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当 $p>p_{c}$ 时，我们看到 $p$ 偏离临界值 $p_{c}$ 越多，分布曲线也越来越偏离幂律分布。
我们看到 $p = 0.7, 0.8, 0.9$ 的时候，曲线的尾部都是用直线来表示，是因为做实验的时候这些中间尺度不存在对应的团簇，所以都为0，但是在图像中，我们不用0来表示团簇尺寸，所以就出现了两个零星点之间用直线相连。

结尾

我们得出结论，在临界点附近，渗流系统的团簇尺度分布是满足幂律分布的，即一种标度行为。

原文出自于：渗流模型 - 集智百科