设像戴蒙德模型中的一样， L t L_t Lt个两期存活的个人在t时刻出生，并且 L t = ( 1 + n ) L t − 1 L_t=(1+n)L_{t-1} Lt=(1+n)Lt−1。设效用函数为对数形式且没有贴现，即 U t = l n ( C 1 , t ) + l n ( C 2 ， t + 1 ) U_t=ln(C_{1,t})+ln(C_{2，t+1}) Ut=ln(C1,t)+ln(C2，t+1)。
最大化效用
U t = l n ( C 1 , t ) + l n ( C 2 ， t + 1 ) U_t=ln(C_{1,t})+ln(C_{2，t+1}) Ut=ln(C1,t)+ln(C2，t+1)
预算约束
C 1 , t + F t = A C 2 , t + 1 = x F t C_{1,t}+F_t=A\\ C_{2,t+1}=xF_t C1,t+Ft=AC2,t+1=xFt
其中 F t F_t Ft 为第一期储蓄。
预算约束可以整合为
C 1 , t + C 2. t + 1 / x = A C_{1,t}+C_{2.t+1}/x=A C1,t+C2.t+1/x=A
则拉格朗日函数为
L = l n ( C 1 , t ) + l n ( C 2 ， t + 1 ) + λ ( A − C 1 , t − C 2. t + 1 / x ) \mathcal{L}=ln(C_{1,t})+ln(C_{2，t+1})+\lambda(A-C_{1,t}-C_{2.t+1}/x) L=ln(C1,t)+ln(C2，t+1)+λ(A−C1,t−C2.t+1/x)
一阶条件为
1 C 1 , t = λ 1 C 2 , t + 2 = λ x \frac{1}{C_{1,t}}=\lambda\\\frac{1}{C_{2,t+2}}=\frac{\lambda}{x} C1,t1=λC2,t+21=xλ
即
C 2 , t + 1 = x C 1 , t C_{2,t+1}=xC_{1,t} C2,t+1=xC1,t
代入原约束得
C 1 , t = A / 2 C 2 , t + 1 = x A / 2 C_{1,t}=A/2\\C_{2,t+1}=xA/2 C1,t=A/2C2,t+1=xA/2
笔记：基本的世代交叠模型
笔记：基本的世代交叠模型设像戴蒙德模型中的一样 L t L t L t 个两期存活的个人在 t 时刻出生 并且 L t 1
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