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作者|民间数学家
来源|民间的职业数学家
上帝创造的数学公式
1743年,著名数学家欧拉在一篇公开发表的论文中首次得到如下结果。
(欧拉公式)EIT = cost+isint
其中e是自然常数,其值约为2.718;Cos和sin分别是余弦和正弦函数;I是虚数,满足I =-1。当t=π,cos π =-1,sin π = 0时,则上述公式变为
(欧拉公式)eiπ+1=0
第二个公式流传更广,五个最著名的数学常数都聚集在一个简短的公式中:
0,1,I(虚数),π(圆周率),E(自然对数)
所以第二个公式也被数学家称为“上帝创造的数学公式”。
第二,解构欧拉公式。
我们来看看欧拉公式中的五个常识。
0,1,I,π,e
和三个功能。
工厂交货价,成本,原价
0和1就不用说了,我在我们之前的文章《复数——几何直觉与代数运算的交响曲》中也讲得很透彻。ππ是单位圆(半径为1的圆)周长的一半。还有函数cost,sin t,它们分别代表单位圆周上(以原点为中心)逆时针偏离(1,0)点弧一个长距离t的点的横坐标和纵坐标,
自然常数E为什么叫自然?
指数ex当x是一个有理数时,它可以由幂和根号来定义,
一般实数有必要用极限定义吗?
欧拉公式中,指数函数ex甚至取x的值为虚数,那么应该如何定义呢?
这些问题就是欧拉公式给很多人留下神秘印象的原因。要把欧拉公式和这么多问题解释清楚,应该选择从哪里入手?
第三,起点
我们选择的出发点是幂级数定义的函数E(x)。
为什么选择这个幂级数作为起点?
只有这样,才能最方便有效地理解欧拉公式。请拭目以待!
非常重要的是要注意,这个函数E(x)可以定义为所有复数x。
好了,接下来,从这个起点出发,我们将推导两个方程(微分方程,泛函方程)和一个共轭方程,这些都是我们理解欧拉公式必不可少的!
(函数方程)E(x)E(y)=E(x+y)
我们直接推导出这个函数方程:
函数和二项式定理是等价的。
(除了二项式定理,还有很多组合恒等式可以写成母函数。有兴趣的朋友可以自行探索。)
如果我们点菜的话,我们就言归正传吧
E(2)=E(1)E(1)=e2
E(3)=E(2)E(1)=e3
……..
所以E(x)=ex对所有的整数x都成立。根据函数方程
E(1/3)E(1/3)E(1/3)= E(1/2)E(1/2)= E(1)= E
因为E(1/2)和E(1/3)都是正数,所以
E(1/2)=e1/2
E(1/3)=e1/3
可以进一步推导出E(x)=ex对于所有有理数和所有实数(取极限)都成立。所以E(x)是指数函数ex的推广。对于复数x,我们也把E(x)写成ex。例如,企业所得税是:
你可以通过逐项微分得到这个微分方程:
如果有人借你1万块钱当高利贷,年化利率100%,一年结清后你要还他2万。但如果他半年后结清,就是(1+1/2)万,那就借给你,半年后结清,就是(1+1/2)两万=两万两千五。如果每四个月结算一次,那一年后就是(1+1/3) 3万≈2.37万。如果把一年分成很多甚至无数个时间段,连续结算复利,最后的结果就是极限。
另一方面,当x从0到1连续变化时,函数ex的值从1增加到e,ex的微分方程表明,这种增长模式以自己的值作为每一时刻的增长率,与上述复利模式相同。所以我们从ex的微分方程可以直观的看到
在讲函数ex的共轭方程之前,我们先来复习一下共轭复数的概念:
复数z=x+yi的共轭复数定义为z=x-yi,对应平面上关于x轴对称的两点。
zz=|z|2
(共轭方程)
四、揭开欧拉公式的神秘面纱
现在让我们重新审视欧拉公式。
(欧拉公式)EIT = cost+isint
这个公式的左边是定义在整个实数轴上的复值函数,即对于每个实数T,都有一个唯一的复eit。我们在《复数——几何直觉与代数运算的交响曲》一文中说过,复数对应的是平面上的点。所以如果我们把数轴看作一条时间直线,
但这个公式的右边也是定义在整个实数轴上的复值函数,也可以看作是一个质点在平面上的运动。如我们在第一节中所述,函数cost和sin t分别表示单位圆周上距离t为(1,0)点弧的点的横坐标和纵坐标(以原点为中心),
也就是说,在时间t,质点在单位圆周上运动了长度为t的距离。换句话说,欧拉公式的右边代表质点逆时针匀速绕单位圆运动,速度为1。
所以,既然左右函数代表相同的运动,欧拉公式自然成立。另外,在时间t=π时,质点刚好穿过半圆,到达点(-1,0)。那么欧拉公式就变成了
ex的函数方程相当于三角函数的和、差、积公式!
四、欧拉公式下的高点观点
前面提到,欧拉公式可以看作是在单位圆上做匀速圆周运动。现在我们把欧拉公式和函数eit看成是实数轴到单位圆的函数或映射。
根据ex的函数方程,
所以函数eit把实数的加法转化为单位圆上的乘法,所以欧拉公式可以理解为两个李群之间的同态,这是李群同态最简单的例子。(所谓同态,就是一个李群到另一个李群的光滑映射,把单位元映射成单位元,把一个李群的运算变换成另一个李群的运算)
从拓扑学的角度看,欧拉公式表示的实数轴到单位圆的映射,实际上是单位圆的泛重叠映射。这个泛重叠映射说明了单位圆的基本群(一个拓扑不变量)是非平凡的,这个事实是代数基本定理拓扑证明的基石。
这种实数轴到单位圆的映射也可以从李代数的角度来理解。此时,实数轴表示单位圆在单位元处的切线空。
这种映射可以推广到任何李群和李代数,但我们只提一个简单的推广:行列式不为零的N阶方阵群(运算是矩阵乘法),N阶方阵李代数。(注意单位圆上的复数可以看作一阶方阵)
此时的映射定义为:
N阶方阵→具有非零行列式的N阶方阵
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