三角板的度数分别是多少(三角板拼成的角的度数)

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三角尺的秘密

2019年1月15日星期二

你铅笔盒里的三角尺是什么样子的？

常用作图文具常用绘图文具

三角尺为什么是这样的？

当然，三角尺的几何形状自然是“三角形”。这个问题不是关于三角尺为什么不是四边形、圆形或者其他，为什么上面印着不同的广告和图案，而是关于为什么是这样一对三角形。世界各地的三角尺，无论大小、材质、物件、场景，在形状上似乎都有相似之处，比如不同比例尺的地图，不同大小的国旗、国徽。形状背后的具体秘密是什么，或者说制造标准或协议是什么，是本文要探讨的。

本文的阅读受众是针对小学生的，自然以“三角尺文具”为主要讨论对象。资深观众要谨防粗心阅读后智商被“低估”或“被侮辱”的难受感觉。

随着数学学习的逐渐深入，越来越多的测量绘图文具被小学生使用。从尺子、三角尺、量角器到圆规，铅笔盒逐渐被填满。认识并熟练使用这些文具是一项重要的数学技能。

小学生用的第一个绘图文具应该是尺子。一方面是画直线的需要；另一方面是学习长度单位“厘米”和测量线段长度的需要。把尺子的抽象单位“厘米”具体化、形象化。按理说，真正使用尺子应该是在小学二年级。高一对计量单位的学习主要是关于时间单位“整小时”和货币单位“元、角、分”，这两个单位都有着广泛而深厚的生活基础，较早进入学前儿童的生活经验。但是一年级的学生可能也会用尺子，因为进入小学要背一个小书包，小书包里必须有一个铅笔盒。有时候，父母会带一把尺子。他们经常拿它当“武器”玩，偶尔发现用尺子，可以用铅笔画出又直又美的线条。当然，这种用法只能算是玩具和美术的使用，而不是数学。

人教二数上册3页教两个数，第1册，第3页

接下来应该是三角尺。三角尺除了继续起到尺子的作用外，最初是用来识别“直角”、画直角、比较角度的。

人教二数上册39页：认识直角教两个数，第一册，39页:理解直角

人教二数上册40页1：认识直角教两个数上册40页1:认识直角

人教二数上册40页2：画直角教两个数第一册40页2:画一个直角

人教二数上册41页：比较角教两个数第一册41页:比较角度

然后是量角器。三角尺虽然是用来“识别直角、钝角、锐角”的，但也只是直观而已。深入了解对角线和测量角度，需要量角器的帮助。量角器是小学生比较复杂的文具，直到小学四年级才开始认识和使用。此时测量对象由线段变为角度，文具的形状由直线变为曲线，刻度复杂，内外圆颠倒排列，一个中心点，一条起点线，一条终点线，许多操作点。另外，抽象的角度单位与长短无关，只与张口大小有关。很多孩子必须要有一段时间的很好的理解和练习，在犯了各种花样错误之后才能熟练。这个测量工具对大多数孩子来说绝对不是“自来”的。

人教四数上册40页教四个数，上册，40页

小学最后一个画画文具是圆规。圆规自然是用来画圆的。小学六年级学“圆”的时候，一定要用圆规。圆规的操作“很好用”。也许孩子年龄稍大，动手能力强，绘画经验丰富，但本质上还是有历史渊源的。据说人类能画出的最早的美丽图形是直线和圆。

人教六数上册58页教六数，上册，58页

拉直绳子拉直绳子

墨斗弹线墨斗弹力线

树杈胯部

手指画圆手指画圈

绳子画圆1用绳子1画一个圈

绳子画圆2画一个绳圈2

圆规罗盘

指南针比树枝“高级”的地方在于，它两脚之间的叉子可以固定和缩放，可以画出各种不同大小的圆，方便收纳和作为文具使用。不过，想必古代人还是对树枝情有独钟，充满了兴奋。他们不仅可以用树枝做弹弓，还可以在闲暇时在地上旋转树枝，画出美丽的“圆圈”，就像天上的圆月或溅在水面上的涟漪。然后，盯着地面上对称而美丽的图案，指指点点，说个遍，让对方沉浸在充满惊喜和成就感的幸福中。

山间圆月高山满月

涟漪涟漪

或许，现在的孩子见多识广，很少有关于文具的“原始兴奋感”。他们总是有点习惯于冷漠和自以为是的骄傲，总以为就这样。没必要折腾了。然而，本文的意图恰恰相反。

要了解三角尺的秘密，主要站在人教版四年级数学上册“角度的测量”一章的学习阶段。就这一章的内容而言，毫无疑问是直接关系到量角器的知识和使用。所以本文避开量角器，谈三角尺，因为三角尺在“角度测量”这一章会有更深刻的理解和更灵活的应用，这一点往往被忽略。量角器可以灵活地画出任意大小的角度，但特殊角度的绘制也可以通过三角尺方便地完成。尤其是偶尔你的铅笔盒里没有量角器的时候，你只能开动脑筋，看看能不能用三角尺解决。这个“特殊角度”与三角尺的规格直接相关。这种规范可以从三个方面来表达:

①角度:

我们姑且称左右三角尺为:长三角尺和短三角尺。

可以看到，长三角尺子三个角的度数分别是:90度、60度、30度；三角尺的三个角的度数分别是90度，45度，45度。这些角度也可以用量角器来验证。

两把三角尺有四个特殊角度:30度、45度、60度和90度。这也是“集合”去重计算的一个小应用:3+2-1 = 4(种)，因为“长三角尺子的角度集合”有三个元素，“短三角尺子的角度集合”有两个元素，它们的重叠和重合部分只有90°角。

②来源:

长三角来自最美的三角形:等边三角形(也叫正三角形)；三角尺来自最美的四边形:正方形。长三角尺是正三角形的一半，短三角尺是正方形的一半。或许，你也应该记得这个结论的“逆命题”:

两把长三角尺子可以组合成一个正三角形；

两把短的三角形尺子可以组成一个正方形。

③联想:

正三角形和正方形的关联正三角形与正方形的联系

正三角形的高度高于正方形的对角线。

三角尺的关联三角尺的相关性

长江三角洲的长直角边等于短三角尺的斜边。

这些特点就是所有三角尺都“相似”的原因。

(重要性★★★★★)

三角尺可以单独使用，也可以组合使用。

文具的组合往往会带来神奇的效果。比如三角尺的组合或者三角尺和直尺的组合，在四年级上册接下来的学习中，可以很方便的完成“直线之外的一点为已知直线的平行线”的画法。比如初中几何中占用大量学习时间的“尺子画法”，就讲究“无标度尺”和“圆规”的结合。这种“尺子作图”甚至产生了许多数学史上的经典“作图题”，如角三等分、立方相乘、化圆为方、画正七边形等…“数学王子”高斯在19岁发现绘制正七边形尺子的可行性后，将其视为一生的杰作，甚至告诉后人将正七边形刻在自己的墓碑上。

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（1777年4月30日－1855年2月23日）约翰·卡尔·弗里德里希·高斯(1777年4月30日至1855年2月23日)

正十七边形十七烷酮

不过这些“以后的学习内容”本文就不讨论了。我们将注意力集中在三角尺的组合上，看看在“画给定度数的角”的作图中，三角尺能占多少个量角器空。

量角器画角用量角器画角度

单独使用三角尺，可以画出30度、45度、60度、90度四个特定角度。

组合(包括加法组合和减法组合)可以更多。分别是:15度、75度、105度、120度、135度、150度、165度、180度，共8种。

在两个合并的例子中有12个具有特定度数的角度。这些角度的讨论范围是:不超过180度，即平角。因为对于大于180度的“上角”图，总是可以通过“圆角-上角=下角”(小于一个直角、锐角、直角、钝角的角都是下角)转化为“下角”图，但我们会在反面画出“角的开口小圆弧”。

下图是三角尺加法画角度示意图。

三角尺加法组合示意三角尺加法组合示意图

从公式分析，有六种组合:

错误的组合图错误的组合图

二分图偶图

① 30+45 = 75度

② 30+90 = 120度

③ 60+45 = 105(度)

④ 60+90 = 150(度)

⑤ 90+45 = 135(度)

⑥ 90+90 = 180度

随着学习的深入，你会发现:所有的三角形和项都有一个直角；只有用直尺才能画出直角。

减法组合同上:

① 45-30 = 15度

② 90-30 = 60度

③ 60-45 = 15度

④ 90-60 = 30度

⑤ 90-45 = 45度

⑥ 90-90 = 0度

但是结合起来，你只得到一个有价值的结果:15度。

15度组合15度组合

这是三角尺组合能做出的最小度数。在这一点上，所有15度的倍数都是合格的:

15× 1 = 15度

15× 2 = 30度

15× 3 = 45度

15× 4 = 60度

15× 5 = 75度

15× 6 = 90度

15× 7 = 105(度)

5× 8 = 120度

5× 9 = 135度

5× 10 = 150度

5× 11 = 165度

5× 12 = 180度

至于用三角尺画165度角的具体组合方法，就留给聪明的你们自己想吧…

再见。