2025年【笔记】Pade Approximations

科技前沿 • 2025-02-20 19:56 • 阅读 80

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1 pade approximations是什么？

Padé Approximations是一种对pure delay使用常规传函进行近似替换的方法，matlab提供了的一个库函数pade。
在传递函数中，用 $e^{-\tau s}$ 表示纯延时pure delay环节，它对信号的幅值不会有任何影响，只会影响信号的相位。

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1）不能进行根轨迹分析
因为 $e^{-\tau s}$ 并不包含零极点，如果进行根轨迹rlocus分析，pure delay环节的影响并不能得到体现，但是它对控制系统的影响却非常的大。
2）影响LQR和H∞控制器设计

具体原因不在这里展开。

传递函数的一般表达式如下，m和n分别表示分子和分母的阶次。

使用泰勒级数展开。

以m = n = 1为例，进行计算。

然后把等式展开，求取各项系数。

当m、n取不同的值时，其近似的传函如下表。那我们究竟该如何选择呢？带着这个问题，看下一章节。

先回答第2个问题，这个问题相对比较容易回答。
仅仅只有当m=n时，近似的传函的增益始终为1，也就是0dB，也就不会对信号幅值进行放大或者缩小，这是我们所期望的。至于为什么，大家可以看上面的m、n取不同值时近似传函的表格。
下面是一个例子，根据bode图可以看出，其幅值一直都是0dB。

再回答第1个问题。大家都知道，如果泰勒级数的阶数越高，越能更精确的近似 $e^{-s}$ 。
下图中，绘制了不同阶数传函与 $e^{- s}$ 的bode图，可以看出，阶数越高，相位出现“偏离”时对应的频率也越高，也就是能覆盖更高的频率范围。

那么阶次的选择依据如下：
出现相位”偏离“对应的频率要大于 -3dB 对应的截止频率(cutoff frequency)，如下图所示。

这个很好理解，在我们关心的频率范围内，尽量不要有太大的相位误差。