任何振动都不可避免地会受到阻力的作用，这时的振动叫做阻尼振动。一般而言，如果物体所受阻力 F f F_f Ff与其速度 v v v成正比，也即有：
F f = − γ v = − γ d x d t (1) F_f=-\gamma v=-\gamma\cfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\tag{1} Ff=−γv=−γdtdx(1)
γ \gamma γ是阻力系数。那么，在弹力、阻力的共同作用下，弹簧振子的运动方程就是：
m d 2 x d t 2 = − k x − γ d x d t (2) m\cfrac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=-kx-\gamma\cfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\tag{2} mdt2d2x=−kx−γdtdx(2)
记 ω 0 = k m , β = γ 2 m \omega_0=\sqrt{\cfrac{k}{m}},\beta=\cfrac{\gamma}{2m} ω0=mk,β=2mγ.则式 ( 2 ) (2) (2)可化为：
d 2 x d t 2 + 2 β d x d t + ω 0 2 x = 0 (3) \cfrac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+2\beta\cfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+\omega_0^2x=0\tag{3} dt2d2x+2βdtdx+ω02x=0(3)
这个微分方程的特征方程是
λ 2 + 2 β λ + ω 0 2 = 0 (4) \lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2=0\tag{4} λ2+2βλ+ω02=0(4)
是一个一元二次方程。根据判别式 Δ = 4 ( β 2 − ω 0 2 ) \Delta=4(\beta^2-\omega_0^2) Δ=4(β2−ω02)的不同，微分方程 ( 3 ) (3) (3)有三种形式的解。
弱阻尼 ( β < ω 0 ) (\beta < \omega _0) (β<ω0)
这种情况下， Δ < 0 \Delta < 0 Δ<0，记 ω = ω 0 2 − β 2 \omega=\sqrt{\omega _0^2-\beta^2} ω=ω02−β2，式 ( 4 ) (4) (4)有共轭复根
λ 1 , 2 = − β ± ω i (5) \lambda _{1,2}=-\beta\pm\omega \mathrm{i}\tag{5} λ1,2=−β±ωi(5)
从而得到 ( 3 ) (3) (3)的解为 x = e − β t ( C 1 cos ω t + C 2 sin ω t ) x=\mathrm{e}^{-\beta t}(C _1\cos\omega t+C _2\sin\omega t) x=e−βt(C1cosωt+C2sinωt).这一形式也可以写成式 ( 6 ) (6) (6)所示的形式：
x = A 0 e − β t cos ( ω 0 2 − β 2 t + φ 0 ) (6) x=A _0\mathrm{e}^{-\beta t}\cos(\sqrt{\omega _0^2-\beta^2}t+\varphi _0)\tag{6} x=A0e−βtcos(ω02−β2t+φ0)(6)
取 x 0 = 1 m , v 0 = − 1 m / s , ω 0 = 10 r a d / s , β = 0.5 s − 1 . x_0=1\ \mathrm m,v _0=-1\mathrm{\ m/s},\omega _0=10\mathrm{\ rad/s},\beta=0.5\mathrm{\ s^{-1}}. x0=1 m,v0=−1 m/s,ω0=10 rad/s,β=0.5 s−1.画出的 x − t x-t x−t图象如下所示：
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