最近在看《一到无穷大》，其中第三章提到的双苹果模型一直不太理解。原文是这么说的：
设想有两个球体，各自限定在自己的球形表面内，如同两个未削皮的苹果一样。现在，设想这两个球体“互相穿过”，沿外表面粘在一起。或者，我们不如设想有个苹果，被虫子吃出弯曲盘结的隧道来。要设想有两种虫子，比如说一种黑的和一种白的；它们互相憎恶、互相回避，因此，苹果内两种虫蛀的隧道并不相通，尽管在苹果皮上它们可以从紧挨着的两点蛀食进去。这样一个苹果，被这两条虫子蛀来蛀去，就会像图 18 那样，出现互相紧紧缠结、布满整个苹果内部的双股隧道。但是，尽管黑虫和白虫的隧道可以很接近，要想从这两座迷宫中的任一座跑到另一座去，却必须先走到表面才行。如果设想隧道越来越细，数目越来越多，最后就会在苹果内得到互相交错的两个独立空间，它们仅仅在公共表面上相连。
一直想不清楚为什么要两个苹果，一个苹果不也是能形成这样的形状吗？直到今天搞明白了。
首先这个双苹果模型并不是非常准确，原文说的黑白两个虫子的管道是不相交的，这个不相交的意义是在四维空间上的不相交，书中为了便于理解只能画出三维空间中的不相交。其实四维空间的这两个虫子管道在三维的投影是完全有可能相交的，而且应该是重叠的。
为了便于理解，从一维空间说起：
一维空间就是一条线，如何让这条线有确定的长度，但是没有边界呢？线段的边界就是两个端点，只要把另一条线段的两个端点和这条线段的两个端点相接，就形成了有固定长度，但是没有边界的一维空间。
二维空间就是一个面，这里以一个圆形举例，如何让二维形状有固定面积，但是没有边界呢？就是在圆形的边缘与另一个圆形相接，这样就有了面积固定，没有边界的二维平面。
三维空间就要用到这里说的双苹果模型了，如何上三维形状有固定体积，但是没有边界呢？思路和一维二维一样，在它的边界处连接上另一个三维物体，三维的边界是就是每个苹果的表皮，把表皮接在一起就是有固定体积，没有边界的三维形状了。可以用上图里那个双苹果模型理解，但是切记，里面的虫洞，黑白两个虫子其实是在不同的三维苹果里，所以永远不相交。
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