1. 首页首页
  2. 科技前沿科技前沿

2025年无偏估计

科技前沿 • • 阅读 73

无偏估计0 无偏估计简介 估计是用样本统计量 可以理解为随机抽样 来估计总体参数时的一种无偏推断 无偏估计的要求就是 估计出来的参数 的数学期望等于被估计参数的真实值 如 是总体参数的估计量 而是被估计参数 无偏性 是一种评价估计量 优良性的准则

大家好，我是讯享网，很高兴认识大家。

0. 无偏估计简介

估计是用样本统计量（可以理解为随机抽样）来估计总体参数时的一种无偏推断。

无偏估计的要求就是：估计出来的参数的数学期望等于被估计参数的真实值。（如：\bar{X}
讯享网是总体参数\mu的估计量，而\mu是被估计参数）（无偏性是一种评价估计量优良性的准则）

无偏估计的意义：在多次重复下，估计量的平均值 ≈ 被估计参数真值

所以呢,可以看出：估计值也是一个变量，因为是随机的嘛。  真实值谁也不知道啊（因为你不可能把列出无限的实验结果来，除了可能通过数学计算得到的常见的分布）。

1. 无偏估计的用途

问题引入：

现实中想要知道全体女性的身高均值\mu, 但是无法对所有女性测量身高，只有通过抽样一些女性，然后来估计全体女性身高的均值

 

2. 无偏估计的计算公式推导

给定一组服从一定分布的随机变量，它真实的均值和方差分别用\mu和\sigma^2表示，即E(X)=\mu, \,D(X) = \sigma^2=E((X-\mu)^2)

以女性的身高为例：

假设我们采样到的n个女性身高数据为x_i(i= 1,2,...,n)

则样本统计的均值为 

\bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}

方差为

S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i - \bar{X})^2

此时\barX\bar{X}是总体参数\mu的无偏估计。

样本均值是否是无偏估计？

即判断E(\bar{X})=\mu是否成立

推导：

E(\bar{X})=E(\frac{\sum x_i}{n})=\frac{\sum E(x_i)}{n}=\frac{\sum \mu}{n}=\mu

所以，是

样本方差是否是无偏估计？

即判断E(S^2)=\sigma ^2是否成立

推导：（为什么样本方差的分母是n-1?）

所以S^2不是\sigma^2的无偏估计。

S^2=\frac{n-1}{n}\sigma^{2}，也就是低估了\sigma^2

所以，可以通过对S^2做个调整，让它变为\sigma^2的无偏估计，即

\frac{n}{n-1}S^2=\frac{n}{n-1} \cdot \frac{1}{n}\sum(x_i - \bar{X})^2=\frac{1}{n-1}\sum(x_i - \bar{X})^2

所以\sigma^2的无偏估计为：

\sigma^2=\frac{1}{n-1}\sum(x_i - \bar{X})^2

3. 无偏估计的直观理解

以打靶为例：

左图都是无偏的，因为都在靶心周围，那么期望就是靶心

 

4. 判断估计量好坏的三种标准

判断一个估计量“好坏”，至少可以从以下三个方面来考虑：

  • 无偏
  • 有效
  • 一致

有效性

有效性越高就说明，估计量的方差更小，估计量更靠近目标值

就像上两张图所示，可能满足无偏性，但是右边的更符合有效性

一致性

实际操作中，要找到满足三个方面的量有时候并不容易，可以根据情况进行取舍。

 

小讯
上一篇 2025-04-09 23:11
下一篇 2025-01-05 12:28

相关推荐

版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容，请联系我们，一经查实，本站将立刻删除。
如需转载请保留出处：https://51itzy.com/kjqy/72956.html