2025年电磁场理论笔记01：场论

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一、梯度

$\bigtriangledown f = \widehat{i_1} \frac{\partial f}{h_1 \partial u_1} + \widehat{i_2} \frac{\partial f}{h_2 \partial u_2} + \widehat{i_3} \frac{\partial f}{h_3 \partial u_3}$
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						$\widehat{i_1}$	$\widehat{i_2}$	$\widehat{i_3}$
直角坐标系			1	1	1	$\widehat{i_{x}}$	$\widehat{i_{y}}$	$\widehat{i_z}$
柱坐标系	$\varphi$		1		1	$\widehat{i_r_c}$	$\widehat{i_\varphi }$	$\widehat{i_z}$
球坐标系	$\theta$	$\varphi$	1		$r_s sin(\theta )$	$\widehat{i_r_s}$	$\widehat{i_\theta }$	$\widehat{i_\varphi }$

物理意义：标量场梯度的方向是该点标量场场量增加最快的方向，其模是由该点向各个不同的方向移动时，场量可能有的最大增加率。

方向导数：与位移 $\overrightarrow{ds}$ 之模的比值 $\frac{df}{ds}$ 即为标量场在位移 $\overrightarrow{ds}$ 方向上的方向导数。

$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} s} = \bigtriangledown f \cdot \overrightarrow{ds}^{0}$

性质：

（1）一个标量场的梯度为矢量场。

（2）在空间任何一点，标量场的梯度总是与过这一点的等值面相垂直，即标量场梯度方向与等值面法向一致。

（3）空间任何一点，标量场梯度的模等于标量场在该点的方向导数可能取得的最大值。

（4）空间任何一点，标量场梯度方向总是指向标量场场量增加的方向。

（5）单值标量场梯度的线积分 $\int_C\bigtriangledown f\cdot \overrightarrow{ds}$ 只与曲线的起止点有关，与曲线C的形状无关。

（6）梯度恒等式：

$\bigtriangledown (u+v) = \bigtriangledown u + \bigtriangledown v$

$\bigtriangledown (uv) = v\bigtriangledown u + u \bigtriangledown v$

二、散度

$\triangledown \cdot \overrightarrow{A} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left [ \frac{\partial h_2 h_3 A_1}{\partial u_1} + \frac{\partial h_1 h_3 A_2}{\partial u_2} + \frac{\partial h_1 h_2 A_3}{\partial u_3} \right ]$

物理意义：矢量场在空间一点的散度是矢量场在该点的通量源密度。

性质：

（1）一个矢量场的散度在空间构成一个标量场

（2）某点有矢量场的净通量，有场线出发，散度为正；有场线汇入，散度为负；有场线穿过，散度为零

（3）散度具有通量体密度量纲

（4）散度恒等式：

$\triangledown \cdot (\vec{A} + \vec{B}) = \triangledown \cdot \vec{A} + \triangledown \cdot \vec{B} = \triangledown \cdot (\vec{B} + \vec{A})$

$\triangledown \cdot (f \vec{A}) = \vec{A} \cdot \triangledown f + f \triangledown \cdot \vec{A}$

高斯定理：闭合曲面S围成空间区域V，有一场 $\vec{A}$ 在S和V上连续可导，则一个矢量场通过闭合曲面发出的净通量与矢量场在曲面内的通量源之间的关系为

$\oint_{S} \vec{A} \cdot d\vec{a} = \int_{V} \triangledown \cdot \vec{A} dv$

拉普拉斯运算符：

$\triangledown^{2} f = \triangledown \cdot (\triangledown f)$

三、旋度

$\triangledown \times \vec{A} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \begin{vmatrix} \hat{i_1} h_1 & \hat{i_2} h_2 & \hat{i_3} h_3 \\ \frac{\partial}{\partial u_1} & \frac{\partial }{\partial u_2} & \frac{\partial }{\partial u_3} \\ A_1 h_1 & A_2 h_2 & A_3 h_3 \end{vmatrix}$

物理意义：矢量场的旋度表明了该矢量场的环流源密度，或称为涡旋源密度。

矢量场可以具有两种源，即通量源和涡旋源。在空间中，如果一个矢量场的散度和旋度都给定，则该矢量场是唯一确定的。

性质：

（1）矢量场的旋度构成新的矢量场

（2）旋度不为零的场有产生矢量场环流量的能力

（3）面法线平行旋度：环流量最大

（4）面法线垂直旋度：环流量为零

（5）旋度的量纲是环流量密度量纲

斯托克斯定理：如果在矢量场 $\vec{A}$ 的良态区域中有一条闭合曲线C和以C为边界的一个曲面S，则有下列等式成立，

$\oint_C \vec{A} \cdot d \vec{s} = \int_S (\triangledown \times \vec{A}) \cdot d \vec{a}$

梯无旋：一个标量场的梯度构成的矢量场没有旋度： $\triangledown \times (\triangledown f) = 0$

旋无散：一个矢量场的旋度构成的矢量场没有散度： $\triangledown \cdot (\triangledown \times \vec{A}) = 0$

四、保守场

矢量场可以分为保守场和非保守场

保守场中，场矢量的线积分值只与路径的起止点有关，而与路径形状无关。因此，保守场总可以表示成一个标量场的梯度，这个标量场即称为该保守场的势场或位场。

非保守场中，场矢量的线积分与路径有关，所以非保守场不可能用一个标量场的梯度来表示。

一个矢量场 $\vec{A}$ 为保守场当且仅当 $\triangledown \times \vec{A} = 0$ 。

2025年电磁场理论笔记01：场论

一、梯度

二、散度

三、旋度

四、保守场

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