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前言

我们经常听人说，“皮之不存，毛将焉附”，意思是皮是毛存在的基础，那么函数的定义域也就是函数及其性质存在的基础和依托；函数的定义说“函数是非空数集到非空数集的映射”，第一个非空数集就是定义域。所以一提起函数及其性质，我们往往先想到的就是函数的定义域。如果一个函数的定义域是空集，那么这个函数即使给出了所谓的解析式，也是空函数，没有研究的任何价值，因此数学老师常常强调的一句话就是“定义域优先”。

一、给出方式

1、直接给出(限定定义域)；

如函数\(f(x)，x\in D\)

2、以函数解析式的形式给出(自然定义域)；

如已知函数\(f(x)=lg\cfrac{x+2}{x-2}\),求其定义域；

要知道这个函数的定义域，我们自然需要解不等式\(\cfrac{x+2}{x-2}>0\)，

由穿针引线法可得定义域为\(x\in(-\infty，-2)\cup(2，+\infty)\)。

3、以图像的形式给出，

如右图动画所示，函数图像向\(x\)轴作正射影，就得到定义域；

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向\(y\)轴作正射影，就得到值域。

当然，你如果会用图像，那么由此图像还可以解不等式\(f(x)>0\)或\(f(x)\leq 0\)

4、以实际问题给出，比如\(x\)为某个线段的长度，则隐含\(x\ge 0\)，自然就不能取负值的。

二、求定义域

• 给定解析式的函数的定义域，转化为解不等式组

例1已知函数\(f(x)=\cfrac{\sqrt{x^2-1}}{ln(x-1)}\)，求其定义域；

分析：要使得解析式有意义，须满足\(\begin{cases}x^2-1\ge 0\\x-1>0\\ln(x-1)\neq 0\end{cases}\)，从而解得\(\{x\mid x>1且x\neq 2\}\)，即定义域为\((1，2)\cup(2，+\infty)\).

• 复合函数的定义域

例2已知函数\(f(x)\)的定义域是\([-1，1]\)，求函数\(f(2x+1)\)的定义域；

分析：解决这类题目需要牢牢抓住两点：其一接受对应法则\(f\)作用的\(x\)和\(2x+1\)是处于对等位置的，

其二不论是给定函数的定义域还是求解函数的定义域，都是针对单独的自变量\(x\)而言，

据此可知由于\(-1\leq x\leq 1\)，故\(-1\leq 2x+1\leq 1\)，解得函数\(f(2x+1)\)的定义域是\(x\in [-1，0]\)。

例3已知函数\(f(x)=lg\cfrac{x+2}{2-x}\),求函数\(f(\cfrac{x}{2})+f(\cfrac{2}{x})\)的定义域；

分析：由上知，函数\(f(x)\)的定义域为\(x\in(-2，2)\)，故和自变量\(x\)对等的\(\cfrac{x}{2}\)和\(\cfrac{2}{x}\)也必须在这个范围内，

则有\(\begin{cases} -2<\cfrac{x}{2}<2 \\ -2<\cfrac{2}{x}<2 \end{cases}\)，解得\(x\in (-4，-1)\cup(1，4)\)。

例4已知函数\(f(x+1)\)的定义域是\([0，1]\)，求函数\(f(2^x-2)\)的定义域。

分析：这里同样你得清楚\(x+1\)和\(2^x-2\)是对等的，先由\(x\in[0，1]\)，

计算得到\(1\leq x+1\leq 2\)，故\(1\leq 2^x-2\leq 2\)，

解得\(3\leq 2^x\leq 4\)，同时取以2为底的对数得到\(log_2^3\leq x\leq 2\)，

则所求定义域是\(x\in [log_2^3，2]\)。

• 分段函数的定义域

例5已知函数\(f(x)=\begin{cases}x^2+4x，&x\ge0\\4x-x^2，&x<0\end{cases}\)，求其定义域；

分析：分段函数的定义域是各段函数的定义域的并集，当然值域也是各段函数的值域的并集；

• 抽象函数的定义域(往往和复合函数不分家)

例6已知函数\(f(2x+1)\)的定义域是\([-1，1]\)，求函数\(f(x)\)的定义域；

分析：由上面的例子分析可知，所给函数的定义域是\([-1，1]\)，即函数\(f(2x+1)\)的自变量\(x\)的取值范围是\([-1，1]\)，

故内函数\(2x+1\)的取值范围这样求解，由\(-1\leq x \leq 1\)，得到\(-2\leq 2x \leq 2\)，

所以\(-1=-2+1\leq 2x+1 \leq 2+1=3\)，又由于\(2x+1\)和\(x\)对等(你可以理解为这两个接受同样的纪律约束也行)，

所以\(f(x)\)的\(x\)的取值范围应该是\(-1\leq x\leq 3\)，故函数\(f(x)\)的定义域是\([-1，3]\)。

典例【2019届高三理科函数及其表示课时作业第15题】

已知函数\(f(x^2-3)=lg\cfrac{x^2}{x^2-4}\)，则\(f(x)\)的定义域为____________。

分析：本题目的定义域求解应该考虑两层要求，

其一需要解析式\(lg\cfrac{x^2}{x^2-4}\)有意义，

即\(\cfrac{x^2}{x^2-4}>0\)，解得\(x<-2\)或\(x>2①\)；

其二，令\(x^2-3=t\)，则\(t\ge -3\)，则\(x^2=t+3\)，\(x^2-4=t-1\)，

故原函数可以改写为\(f(t)=lg\cfrac{t+3}{t-1}(t\ge -3)\)，

即\(f(x)=lg\cfrac{x+3}{x-1}(x\ge -3)\)，

则在\(x\ge -3\)时，还必须\(\cfrac{x+3}{x-1}>0\)，解得\(x<-3\)或\(x>1\)，

故所求定义域必须同时满足条件

\(\left\{\begin{array}{l}{x<-2，x>2}\\{x\ge -3}\\{x<-3，x>1}\end{array}\right.\)，故定义域为\(x>2\)，即\((2，+\infty)\)；

总结：上述的解法是错误的，原因是解析式右端\(lg\cfrac{x^2}{x^2-4}\)中的\(x\)与\(f(x)\)中的\(x\)的内涵不一样，

\(f(x)\)中的\(x\)与\(f(x^2-3)\)中的\(x^2-3\)的整体是对等的，故需要先等价转化得到函数的解析式。

【正解】令\(x^2-3=t\)，则\(t\ge -3\)，则\(x^2=t+3\)，\(x^2-4=t-1\)，

故原函数可以改写为\(f(t)=lg\cfrac{t+3}{t-1}(t\ge -3)\)，

即\(f(x)=lg\cfrac{x+3}{x-1}(x\ge -3)\)，

则在\(x\ge -3\)时，还必须\(\cfrac{x+3}{x-1}>0\)，解得\(x<-3\)或\(x>1\)，

故所求定义域必须同时满足条件

\(\left\{\begin{array}{l}{x\ge -3}\\{x<-3，x>1}\end{array}\right.\)，故定义域为\(x>1\)，即\((1，+\infty)\)；

三、影响要素

• 当函数的图像发生变换时，其定义域和值域常常会随之发生变化，举例说明如下：

比如已知函数\(f(x)\)的定义域是\([1，5]\)，则\(x\in [1，5]\)

平移变换：则\(f(x+2)\)的定义域就变成了\([-1，3]\)，原因是\(1\leq x+2\leq 5\)，解得\(x\in [-1，3]\)；

伸缩变换：则\(2f(x)\)的定义域不做变化。

周期变换：则\(f(2x)\)的定义域就变成了\([\cfrac{1}{2}，\cfrac{5}{2}]\)，原因是\(1\leq 2x \leq 5\)，解得\(x\in[\cfrac{1}{2}，\cfrac{5}{2}]\)；

四、易错警示

• 当题目中明确要求定义域时，一般学生都不会出错，但是在解题中学生又非常容易犯错误，主要原因还是缺乏定义域优先考虑的意识。一般来说，只要是研究函数的问题，不管题目是否要求我们求解定义域，都应该先确定函数的定义域，否则研究的函数就是无源之水，无本之木。

例7【2017凤翔中学高三理科第二次月考第9题】

若函数\(f(x)=log_a^\;(6-ax)\)在\([0，2]\)上为减函数，则实数\(a\)的取值范围是【】

$A.[3，+\infty)$ $B.(0，1)$ $C.(1，3]$ $D.(1，3)$