在数学模型中，点，数轴，平面直角坐标系，空间直角坐标系可以分别用来直观地描述零维，一维，二维，三维空间，那么超越三维的空间，例如，四维，五维甚至更一般的n维空间是否存在一种直观的数学模型将它们表达出来，也就是说利用空间想象思维去观察它们，就像笛卡尔坐标系那样把一些至多含有x,y,z三个变量的方程式表达成空间几何图形，受分形学原理与化无穷为有限等一些先进思想的启发，本文从点，直线，平面，空间等基本概念出发，深入探索其直观本质，完善其概念，然后逐步建立起直观n维空间模型，并运用此模型将含有超过三个变量的方程式表达出相应的图像。

关键字：最近不同对，点的几何缺陷，分形方格点，有限无穷，数标方格

一、直线（平面，空间）的直观本质

在数学模型x数轴上包含有许多丰富的数字，例如，自然数0,1分数1/2,1/3，无理数e，等等，每个数字对应x轴上的一个点，同理，x轴上的每一个点都对应实数集当中的每一个数字，两者是一一对应的关系，如果说两个数字相等则对应x轴上的同一点，如果说两个数不等则对应x轴上两个不同的点。

在整数集中，将相邻最近的两个数定义为最近不同数对，例如，0与1，-1与0等，其差值的绝对值为1，定义为跳度为1，对应在x轴上的距离为1，若x轴仅对于整数集（即只保留x轴上的整数，而去除其它任何数），则可以认为任意两点之间的最小间隙宽度为1。

当把整数集换成实数集时，则很难找到两个相邻最近的两个数，因为一旦找到了确定的两个很近的数后就会发现又会有另外的数比之前的更近，例如两个数的平均值，虽然找不出这两个数，但是可以观察到这两个数在无限地靠拢，可以肯定的是这两个数绝非同一个数，在此将这两个数同样定义为最近不同数对，这里进一步说明一下最近不同数对的含义，最近不同数对既然已经默认是最近的，那么最近不同数对之间就不存在其它任何数，如果存在其它数，那么最近不同数对就不再是最近不同数对了。

这里有个很重要问题需要回答，实数集上到底是否存在最近不同数对，显然实数集是由一个个独立的数字组成的，如果说不承认实数集上存在最近不同数对，则会推出最近不同数对之间存在其它数，然而这与最近不同数对本身的定义是相矛盾的，抑或推出实数集不存在，但这与既存的已知的实数集相矛盾，所以实数集上存在最近不同数对。

最近不同数对对应于x轴上的两个点，这两个点的距离显然是无穷小，或者说跳度无限小，若x轴仅对于实数集或者说就对于x轴本身（因为实数集上的数字与x轴上的点是一一对应的关系），则可以认为x轴上存在着间隙，其间隙宽度为无穷小，由此，便会发现x轴是一条直观不连续的直线，所谓连续直线并非理想连续，即便它存在于数学世界。

还可以换一种方式，忽略数集的映射，只考察直线，由于直线是由无数个点构成，无论多么相近的两个点，只要不是同一个点，两点之间必然存在间隙，同样定义最近不同点对，最近不同点对之间不存在任何其它点，如果存在其它点，最近不同点对就不再是最近不同点对了。

那么直线上是否存在最近不同点对，显然直线是由点构成的，如果不承认直线上存在最近不同点对，则会推出最近不同点对之间存在其它点，然而这与最近不同点对本身的定义相矛盾，抑或推出直线的不存在，这与既存的已知的直线相矛盾，所以直线上存在最近不同点对。

显然，最近不同点对的间隙宽度与最近不同点对的数目是影响直线构成的两个参数，当最近不同点对的间隙宽度固定，最近不同点对的数目无限增加时，便会形成沿直线排列的散点，当最近不同点对的间隙宽度无限增加时，沿直线排列的散点就会变得更加稀疏，当最近不同点对的间隙宽度无限地变小，最近不同点对的数目无限地增加并且点对数目的增加程度远大于点对间隙宽度的缩小程度时，便形成无限延伸的直线。

由此可见尽管直线上的最近不同点对的间隙宽度在无限缩小，但从真正的直观意义上来说数学模型直线是不连续的，当然数轴x，y，z也是直线，同样也存在这样的问题，那么由数轴构成的平面直角坐标系空间和空间直角坐标系空间也是直观不连续，这些模型内部结构充满了间隙，它们都是由无数个没有几何大小的点构成的。

二、点的几何缺陷与重定义

导致直线，平面，空间的直观不连续的根本原因在于点的几何性质，点被认为是没有几何大小的0维，又由于最近不同点对的间隙的存在，这就注定由它所构成的所有模型都是直观离散的。

为了便于后文建立完备的直观n维空间，本文将赋予点几何性质为边长为a，且a无限趋于零的立方格，简称为方格点。

这里要说明一点，方格点的内部与边界的结构并不是由原来的点构成的，因为点的定义被修改为方格点，所以它是由更小的方格点构成的，由此可见方格点自身具备分形结构，满足自洽。

如果说方格点自身分形结构无任何缺陷，则将这种点定义为狭义规范点，由于后文建立的模型是以此为基础，所以又称为基格点，如果说方格点自身分形结构存在任何缺陷，则将这种点定义为广义不规范点，显然广义不规范点更具有现实意义，它可以描述世界上任何看起来像点事物，形象地举一例，如沙粒相对于地球来说就是广义不规范点，广义不规范点内部结构可以以一定精度描述沙粒的内部结构与形态，夜空中的星星，原子相对沙粒，地球相对银河系，银河系相对与宇宙都是如此。

至此，点被赋予新的内涵。

实际上点的内涵一旦变了便须要重新审视原来的直线，平面与空间的概念，这里是以狭义规范点即基格点为基础来构建新的直线，平面与空间的数学模型，原来的直线只有无限的长度而没有宽度和高度，现在的方格点直线不仅保留了原来的无限长度而且有了宽度和高度，并且两者均为无限小，原来的无界平面无厚度，现在的方格点平面有了厚度，其厚度为无穷小，同样原来无限延伸的空间中充满间隙，现在的方格点空间是基格点与基格点的无缝对接，这些模型与原来的数学模型大相径庭，它克服了原有模型自身存在的矛盾。

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在方格点空间中从中选择一条基格点面对面对齐排列的直线，然后将实数集中的每一个数字依次给方格直线中的基格点标号，之所以可以这样做是因为最近不同点对与最近不同数对的缘由，于是便构出方格点x轴，同理可构造出方格点y，z轴，然后使三条方格点直线相互垂直并且都起始于标号为零的基格点。

在笛卡尔坐标系中，每一个坐标值对应空间里的一个点，而在方格点空间中则对应一个基格点，坐标值可以看为基格点的标号，但此时基格点的标号仅有三位数，与笛卡尔坐标系一样仅能表达至多三个变量的方程图像，还不足以表达三个以上变量的方程图像，还需要继续变形，使得基格点的标号的位数更多才能表达出更高维数的图像。

三、化无穷为有限

在数学模型中，无穷大于任何数字，它不代表一个确定的数字，实际上它是一个正在变大且一直变大的未知数字，无穷是相对已知的未知，是相对常量的变量，是相对静态的动态，在方格空间中，方格点直线上的基格点的缩小程度与基格点的数目多的程度是两种对立的情形，两种程度的不确定会导致直观呈现的不确定，如果说基格点数目多的程度高于基格点缩小的程度，那么直观呈现出的是无限延长的方格直线，如果说基格点数目多的程度低于基格点缩小的程度，那么直观呈现出的是无限变小的方格点（广义不规范点），若两种程度相当，从而导致直线长度固定不变，呈现出方格线段，其左右端的方格标号分别为正负无穷，这便是有限无穷方格直线。

其实方格平面与方格空间也存在上述三种情形，同样选择第三种情形，可得有限无穷方格平面与有限无穷方格空间。

至此，可以看到有限无穷方格空间是把原来的无限方格空间压缩成了方格（如果说把无限方格空间还原成笛卡尔坐标系，那就是把笛卡尔坐标系空间压缩成了盒子），当三维方格空间被压缩成三维方格点后再将多个三维方格点面对面对齐连接，同样让实数集中每一个数为每一个三维方格点标号，如果再想确定基格点就必须需要四位数，即基格数标有四位数，由此构出四维方格直线，同样可以构造五维方格平面，六维方格空间，不断地重复上述操作便可以构造出任意维度空间即n维空间，在n维空间中，若想要确定基格点的位置就必须要有n位数才能确定，由此，直观n维空间建立完成。

有限无穷平面

有限无穷空间

四、直观n维空间的应用

具体应用的几何图形见附带的PDF，如果读者数学基础好，除了球方程以外其他的曲面方程都能够表达出相应的高维几何模型。

这是六维球的示意图，只要读者能够领会文中的思想，高维球的几何也能够表达。

 这是高维度点的几何表达示意图。