Young不等式
x ≥ 0 , y ≥ 0 , p > 1 , q > 1 , 1 p + 1 q = 1 x\ge 0,y\ge 0,p>1,q>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 x≥0,y≥0,p>1,q>1,p1+q1=1
则 x y ≤ x p p + y q q xy\le\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q} xy≤pxp+qyq
当且仅当 x p = y q x^{p}=y^{q} xp=yq时取等
证明：
当 x = 0 x=0 x=0或 y = 0 y=0 y=0时，显然成立
当 x > 0 , y > 0 x>0,y>0 x>0,y>0时
要证明 x y ≤ x p p + y q q xy\le\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q} xy≤pxp+qyq
等价于证明 ln x y ≤ ln ( x p p + y q q ) \ln xy \le \ln (\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}) lnxy≤ln(pxp+qyq)
f ( x ) = ln x , f ′ ′ ( x ) = − 1 x 2 < 0 f(x)=\ln x,f''(x)=-\frac{1}{x^2}<0 f(x)=lnx,f′′(x)=−x21<0
由Jensen不等式
ln ( x p p + y q q ) ≥ 1 p ln x p + 1 q ln x q = ln x y \ln (\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q})\ge \frac{1}{p} \ln x^p +\frac{1}{q} \ln x^{q}=\ln xy ln(pxp+qyq)≥p1lnxp+q1lnxq=lnxy
当且仅当 x p = y q x^{p}=y^{q} xp=yq时取等
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