一、点乘（内积）
有向量 a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) ， b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) \vec a=(x_1,y_1)，\vec b=(x_2,y_2) a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，夹角为 θ \theta θ，内积为：
a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos θ = x 1 x 2 + y 1 y 2 \vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=x_1x_2 + y_1y_2 a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ=x1x2+y1y2
几何意义：
- 夹角，由 a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos θ \vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ 知，当内积 > 0 >0 >0， θ < 9 0 ∘ \theta<90^\circ θ<90∘，内积 < 0 <0 <0， θ > 9 0 ∘ \theta>90^\circ θ>90∘，内积 = 0 =0 =0， θ = 9 0 ∘ \theta=90^\circ θ=90∘。同时也可以计算 θ \theta θ 的值： θ = a r c c o s a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ \theta=arccos\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|} θ=arccos∣a∣∣b∣a⋅b
- 投影， ∣ a ⃗ ∣ cos θ = a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ b ⃗ ∣ |\vec a|\cos\theta=\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec b|} ∣a∣cosθ=∣b∣a⋅b 表示 a ⃗ \vec a a 在 b ⃗ \vec b b 上的投影。
对偶性： a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ( ∣ b ⃗ ∣ cos θ ) = ∣ b ⃗ ∣ ( ∣ a ⃗ ∣ cos θ ) \vec a \cdot \vec b=|\vec a|(|\vec b|\cos\theta)=|\vec b|(|\vec a|\cos\theta) a⋅b=∣a∣(∣b∣cosθ)=∣b∣(∣a∣cosθ)
∣ a ⃗ ∣ ( ∣ b ⃗ ∣ cos θ ) |\vec a|(|\vec b|\cos\theta) ∣a∣(∣b∣cosθ) 的理解是 a ⃗ \vec a a 的长度与 b ⃗ \vec b b 在 a ⃗ \vec a a 上的投影的乘积；
∣ b ⃗ ∣ ( ∣ a ⃗ ∣ cos θ ) |\vec b|(|\vec a|\cos\theta) ∣b∣(∣a∣cosθ) 的理解是 b ⃗ \vec b b 的长度与 a ⃗ \vec a a 在 b ⃗ \vec b b 上的投影的乘积；
而这两个是相等的。
二、叉乘（外积）
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上面的公式，就是求三阶行列式。
几何意义：
- 上面如果不把 i ⃗ , j ⃗ , k ⃗ \vec i,\vec j,\vec k i,j,k 的具体指带入公式，而是写成 a ⃗ × b ⃗ = m i ⃗ + n j ⃗ + l k ⃗ \vec a \times \vec b=m\vec i+n\vec j+l\vec k a×b=mi+nj+lk 的形式，向量 ( m , n , l ) (m,n,l) (m,n,l) 就是一个同时垂直 a ⃗ \vec a a 和 b ⃗ \vec b b 的向量，如下图：
- 对于二维向量， a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) ， b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) \vec a=(x_1,y_1)，\vec b=(x_2,y_2) a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，按照上面的公式得：
a ⃗ × b ⃗ = ∣ x 1 y 1 x 2 y 2 ∣ = x 1 y 2 − x 2 y 1 \vec a \times \vec b=\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix}=x_1y_2-x_2y_1 a×b= x1x2y1y2 =x1y2−x2y1，设这个数值为 m m m。
则， ∣ m ∣ = ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin θ |m|=|a×b|=|a| |b|\sin\theta ∣m∣=∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinθ （ θ \theta θ为 a ⃗ \vec a a 和 b ⃗ \vec b b 的夹角）
且，|m| = a ⃗ \vec a a 和 b ⃗ \vec b b构成的平行四边形的面积 ，如下图：
- 判断向量的相对位置（顺逆时针）
a ⃗ \vec a a 和 b ⃗ \vec b b 如图所示：
如果让 a ⃗ \vec a a 以最小角度转到 b ⃗ \vec b b 的方向，是顺时针还是逆时针呢，从图中很容易看出，但怎么用数字判断呢？
仍然是 m = a ⃗ × b ⃗ = x 1 y 2 − x 2 y 1 m=\vec a \times \vec b=x_1y_2-x_2y_1 m=a×b=x1y2−x2y1，
当 m > 0 m>0 m>0， a ⃗ \vec a a 逆时针转到 b ⃗ \vec b b 的角度 < 18 0 ∘ <180^\circ <180∘，
当 m < 0 m<0 m<0， a ⃗ \vec a a 逆时针转到 b ⃗ \vec b b 的角度 > 18 0 ∘ >180^\circ >180∘，
当 m = 0 m=0 m=0， a ⃗ \vec a a 和 b ⃗ \vec b b 共线。
直观记忆如下图：
m > 0 m>0 m>0， b ⃗ \vec b b 在蓝色部分；
m < 0 m<0 m<0， b ⃗ \vec b b 在红色部分；
m = 0 m=0 m=0， b ⃗ \vec b b 在分界线上（与 a ⃗ \vec a a 共线 ）。
三、扩展（坐标系引发的顺逆指针分不清事件）
我们平时默认的坐标系是这样的：
但有时候的坐标系是这样的（比如数字图像中）：
可以发现，同样的 a ⃗ = ( 2 , 1 ) \vec a=(2,1) a=(2,1) 转到 b ⃗ = ( 1 , 2 ) \vec b=(1,2) b=(1,2) ，在上面的坐标系中就是逆时针，而在下面的坐标系中就是顺时针，所以为了统一说明，定义了 “正旋转” ：从 x x x 轴旋转到 y y y 轴的方向。
所以，上面利用向量叉乘判断向量相对位置的性质描述应该为：
当 m > 0 m>0 m>0， a ⃗ \vec a a 正旋转到 b ⃗ \vec b b 的角度 < 18 0 ∘ <180^\circ <180∘，
当 m < 0 m<0 m<0， a ⃗ \vec a a 正旋转到 b ⃗ \vec b b 的角度 > 18 0 ∘ >180^\circ >180∘，
当 m = 0 m=0 m=0， a ⃗ \vec a a 和 b ⃗ \vec b b 共线。
而那张直观记忆图只在我们平时默认的坐标系中才成立。
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