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高等数学笔记-苏德矿

第十章 曲线积分和曲面积分

第七节 高斯公式与斯托克斯公式

一、基本概念

01 右手法则

伸出右手，使四指与边界曲线 $L$ 的方向一致，如果此时

大拇指的方向恰好与曲面 $\Sigma$ 的法方向一致，称它们是符合右手法则的。

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02 线单连通区域

设 $\Omega \subset R^3$ 是一个空间立体，对于 $\Omega$ 中任意封闭曲线 $L$，不越过立体 $\Omega$ 的边界曲面连续，

收缩为 $\Omega$ 中的一点，称 $\Omega$ 为线单连通区域。

03 面单连通区域

设 $\Omega \subset R^3$ 是一个空间立体，对于 $\Omega$ 中任意封闭曲面 $\Sigma$，不越过立体 $\Omega$ 的边界曲面连续，

收缩为 $\Omega$ 中的一点，称 $\Omega$ 为面单连通区域。

比如厚球壳形状的立体是线单连通区域，不是面单连通区域。

二、高斯公式

设有界闭区域立体 $\Omega \subset R^3$ 的边界曲面是分片光滑曲线 $\Sigma$ 指向外侧，若 $P,Q,R$ 在 $\Omega$ ( 包括 $\Sigma$ ) 上连续且具有连续的一阶偏导数，则
$$\underset{{\Sigma }_{外}}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{\Omega }{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV$$
A ⃗ ( x , y , z ) = { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) } \vec{A}(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\} A (x,y,z)={ P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}， d S ⃗ = { d y d z , d z d x , d x d y } d\vec{S}=\{dydz,dzdx,dxdy\} dS ={ dydz,dzdx,dxdy} 。

高斯公式可以写成：$\underset{{\Sigma }_{外}}{\iint }\vec{A}\cdot d\vec{S}=\underset{\Omega }{\iiint }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{A}dV$ 。

三、散度与旋度

01 散度

(1) 散度的概念

记 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{A}$ ，称 $\vec{A}(x,y,z)$ 在点 $(x,y,z)$ 处的散度。
$$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{A}(x_0,y_0,z_0)=\frac{\partial P}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0,z_0)}+\frac{\partial Q}{\partial y}{|}_{(x_0,y_0,z_0)}+\frac{\partial R}{\partial z}{|}_{(x_0,y_0,z_0)}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{A}{|}_{(x_0,y_0,z_0)}$$

(2) 散度的意义

$\forall M_0(x_0,y_0,z_0)\in \Omega$，取一个小立体 $V$，使 $M_0\in V\subset \Omega$，$V$ 的边界曲面为分片光滑曲面 ${\Sigma }_1$，

$\underset{{\Sigma }_{外}}{\iint }\vec{A}\cdot d\vec{S}=\underset{\Omega }{\iiint }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{A}dV=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{A}{|}_{M^{\ast }}\cdot V,M^{\ast }\in V$， 等式变形得：$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{A}{|}_{M^{\ast }}=\frac{\underset{{\Sigma }_{1外}}{\iint }\vec{A}\cdot d\vec{S}}{V}$ .

等式右侧，即 $\frac{\underset{{\Sigma }_{1外}}{\iint }\vec{A}\cdot d\vec{S}}{V}$ 称为流量 $Q$ 对体积 $V$ 的平均变化率。

令 $V\to M_0$，则有 $M^{\ast }\to M_0$，$\underset{V\to M_0}{\lim }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{A}{|}_{M^{\ast }}=\underset{V\to M_0}{\lim }\frac{\underset{{\Sigma }_{1外}}{\iint }\vec{A}\cdot d\vec{S}}{V}$ ，两侧取极限，得：

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{A}{|}_{M^0}=\underset{V\to M_0}{\lim }\frac{\underset{{\Sigma }_{1外}}{\iint }\vec{A}\cdot d\vec{S}}{V}$ ，此时等式右边称为在 $M_0$ 处流量 $Q$ 对体积 $V$ 的变化率，即 $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{A}{|}_{M^0}$ 。

当 $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{A}{|}_{M^0}>0$ ，称 $M_0$ 为流体的源；当 $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{A}{|}_{M^0}<0$ ，称 $M_0$ 为流体的汇；

当 $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{A}{|}_{M^0}=0$ ，称 $M_0$ 既不源也无汇。

(3) 散度的线性运算法则

线性运算法则：若 $\vec{A}(x,y,z),\vec{B}(x,y,z)$ 的分量偏导数均存在，$\alpha ,\beta$ 为常数，

则 $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\alpha \vec{A}+\beta \vec{B})=\alpha \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{A}+\beta \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{B}$ 。

02 旋度

(1) 旋度的概念

${\oint }_{L}Pdx+Qdy+Rdz={\iint }_{\Sigma }(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$

曲面 $\Sigma$ 的方向与边界曲线 $L$ 的方向符合右手系。

A ⃗ ( x , y , z ) = { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) } \vec{A}(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\} A (x,y,z)={ P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}，

d s ⃗ = { d x , d y , d z } d\vec{s}=\{dx,dy,dz\} ds ={ dx,dy,dz}， d S ⃗ = { d y d z , d z d x , d x d y } d\vec{S}=\{dydz,dzdx,dxdy\} dS ={ dydz,dzdx,dxdy} 。

$\left\{\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right\}\stackrel{△}{=}rot\vec{A}$ ，称 $\vec{A}(x,y,z)$ 在点 $M(x,y,z)$ 处的旋度。
$$rot\vec{A}{|}_{(x_0,y_0,z_0)}=\left\{(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}){|}_{(x_0,y_0,z_0)}+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}){|}_{(x_0,y_0,z_0)}+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}){|}_{(x_0,y_0,z_0)}\right\}$$

(3) 旋度的线性运算法则

线性运算法则：若 $\vec{A}(x,y,z),\vec{B}(x,y,z)$ 的分量偏导数均存在，$\alpha ,\beta$ 为常数，

则 $\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}(\alpha \vec{A}+\beta \vec{B})=\alpha \mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\vec{A}+\beta \mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\vec{B}$ 。

四、第二类曲面积分的类型

(1) $\underset{{\Sigma }_{外}}{\iint }P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy$

① 能用高斯公式就用高斯公式，化成三重积分容易计算。

② $\Sigma$ 包围的内部有洞（ $P$ 或 $Q$ 或 $R$ 在洞上没有定义，称为”洞“ ）

如果在洞的外部 $P,Q,R$ 偏导数均连续且 $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\vec{A}\equiv 0$，则

$\underset{{\Sigma }_{外}}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{{\Sigma }_{1外}}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$ .

( 注意，$\Sigma ,{\Sigma }_1$ 包围同一些”洞“，且同侧。)

${\Sigma }_1$ 的选择：

一般选择被积函数中分母表达式等于常数的封闭曲面 ${\Sigma }_1$，且 $\Sigma ,{\Sigma }_1$ 包围同一些洞，同方向。

满足定理条件，化为 ${\Sigma }_1$ 上的第二类曲面积分，分母化简为常数，化简后 $P,Q,R$ 偏导数处处连续，用高斯公式。

③ 直接计算，化成二重积分。

④ 化成第一类曲面积分计算，把 $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 求出来用 $x,y,z$ 表达式表示。

(2) $\underset{\Sigma }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$

$\underset{\Sigma }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$，其中 $\Sigma$ 为非封闭曲面。

① 原式 $=\iint -{\iint }_{{\Sigma }_1}$ ，其中 ${\Sigma }_1$ 为简单曲面，一般为平面块，前者用高斯公式，后者直接计算。

② 直接计算，化成二重积分容易计算。

③ 化成第一类曲面积分。

五、斯托克斯公式

若 $P,Q,R$ 在分片光滑曲面 $\Sigma$ ( 包括边界分段光滑曲线 $L$ ) 连续且具有连续的偏导数，

则 ${\oint }_{L}Pdx+Qdy+Rdz={\iint }_{\Sigma }(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$

​ （ $=\left|\begin{array}{llc}dydz& dzdx& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$ ，按第一行展开。）

曲面 $\Sigma$ 的方向与边界曲线 $L$ 的方向符合右手法则。

注：以 $L$ 为边界的曲面 $\Sigma$ 有无数个，选择简单的曲面，最好选择平面 $\Sigma$ 。

引入旋度的概念后，斯托克斯公式也可写为：${\oint }_L\vec{A}\cdot d\vec{s}=\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\vec{A}\cdot \vec{S}$ .

六、空间曲线积分与路径无关的条件

空间第二类曲线积分与路径无关的四个等价条件

设 $\Omega$ 是空间的一个线单连通的一阶偏导数，则以下四个条件等价：

(1) 对 $\Omega$ 中的任意封闭曲线 $L$ 上的第二类曲线积分为 $0$，即 ${\oint }_{L}Pdx+Qdy+Rdz=0$

(2) 对 $\Omega$ 中的任意两个非封闭曲线 ${\Gamma }_{ACB},{\Gamma }_{ADB}$，

​ 有 ${\int }_{{\Gamma }_{ACB}}Pdx+Qdy+Rdz={\int }_{{\Gamma }_{ADB}}Pdx+Qdy+Rdz$ ，

​ 即 $\Omega$ 中非封闭曲线上的第二类曲线积分只与起点和终点有关，与 $\Omega$ 中的路径无关。

(3) 存在 $\Omega$ 上的一个三元函数 $u(x,y,z)$ ，使 $du=Pdx+Qdy+Rdz$，

​ 即 $\frac{\partial u}{\partial x}=P,\frac{\partial u}{\partial y}=Q,\frac{\partial u}{\partial z}=R$，称 $u$ 是 $Pdx+Qdy+Rdz$ 的一个原函数。

(4) $\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv \frac{\partial P}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial y}\equiv \frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}\equiv \frac{\partial R}{\partial x}$，即 $\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\vec{A}\equiv 0,(x,y,z)\in \Omega$ .

七、空间第二类曲线积分的类型

(1) ${\oint }_{L}Pdx+Qdy+Rdz$

① 能直接计算就直接计算，

$L:\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}$ ，找出起点对应的参数 $t_0$，找出终点对应的参数 $t_1$ 。化成参数的定积分。

② 斯托克斯公式。

(2) ${\int }_{{\Gamma }_{AB}}Pdx+Qdy+Rdz$

① 能直接计算就直接计算，

${\Gamma }_{AB}:\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}$ 找出起点 $A$ 对应的参数 $t_A$，找出终点 $B$ 对应的参数 $t_B$ 。化成参数的定积分。

② 曲线积分的牛顿-莱布尼兹公式。

若找到 $u(x,y,z)$​，使 $du=Pdx+Qdy+Rdz$，

${\int }_{{\Gamma }_{AB}}Pdx+Qdy+Rdz={\int }_{A(x_0,y_0,z_0)}^{B(x_1,y_1,z_1)}du=u(x,y,z){|}_{A(x_0,y_0,z_0)}^{B(x_1,y_1,z_1)}$

${\int }_{A(x_0,y_0,z_0)}^{B(x_1,y_1,z_1)}Pdx+Qdy+Rdz={\int }_{x_0}^{x_1}P(x,y_0,z_0)dx+{\int }_{y_0}^{y_1}Q(x_1,y,z_0)dy+{\int }_{z_0}^{z_1}R(x_1,y_1,z)dz$

③ 找到线单连通 $\Omega$ 使 ${\Gamma }_{AB}\subset \Omega$，有 $P,Q,R$ 偏导数连续，且 $\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\vec{A}\equiv 0$，知与路径无关。

${\int }_{A(x_0,y_0,z_0)}^{B(x_1,y_1,z_1)}P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz$

$={\int }_{x_0}^{x_1}P(x,y_0,z_0)dx+{\int }_{y_0}^{y_1}Q(x_1,y,z_0)dy+{\int }_{z_0}^{z_1}R(x_1,y_1,z)dz$

将 $x_1$ 换成 $x$，同理有：

$u(x,y,z)={\int }_{A(x_0,y_0,z_0)}^{B(x_1,y_1,z_1)}Pdx+Qdy+Rdz+C$ （与路径无关）

$={\int }_{x_0}^{x}P(x,y_0,z_0)dx+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,y,z_0)dy+{\int }_{z_0}^{z}R(x,y,z)dz+C$