高数第七章节——微分方程概念&一阶微分方程&高阶微分方程
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- 1、数列
- 1、微分方程的基本概念
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- 1.1微分方程的定义
- 1.2 解微分方程
- 1.3 基本概念
- 2、一阶微分方程
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- 2.1 微分方程的解
- 2.2 微分方程的通解不一定包括所有的解
- 2.3 微分方程解法一——可分离变量的微分方程
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- 2.3.1 可分离变量的微分方程的定义 ϕ ( y ) d y = ψ ( x ) d x \phi(y)dy=\psi(x)dx ϕ(y)dy=ψ(x)dx
- 2.3.2 求通解的步骤
- 2.3.3 例题——两端积分求通解
- 2.4 微分方程解法二——一阶线性微分方程
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- 2.4.1 线性齐次方程 d y d x + P ( x ) y = 0 \frac{dy}{dx}+P(x)y=0 dxdy+P(x)y=0
- 2.4.2 线性非齐次方程 d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)
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- 2.4.2.1 待定系数
- 2.4.2.2 一阶线性方程解的结构
- 2.4.2.3 例题——一阶非齐次线性微分方程
- 2.4.3 伯努利方程 d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) ∗ y n \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)*y^n dxdy+P(x)y=Q(x)∗yn
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- 2.4.3.1 伯努利方程的推导
- 2.4.3.2 伯努利方程的通解
- 3、高阶微分方程
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- 3.1 微分方程解法三——可降阶的高阶微分方程
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- 3.1.1 y ( n ) = f ( x ) y^{(n)}=f(x) y(n)=f(x)型的方程
- 3.1.2 y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y''=f(x,y') y′′=f(x,y′)型的方程（不含未知数 y y y，含自变量 x x x）
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- 3.1.2.1 定义
- 3.1.2.2 例题—— y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y''=f(x,y') y′′=f(x,y′)型求原方程
- 3.1.3 不含有 y 、 y ′ 、 . . . 、 y ( k − 1 ) y、y'、...、y^{(k-1)} y、y′、...、y(k−1)
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- 3.1.3.1 例题—— y 、 y ′ 、 . . . 、 y ( k − 1 ) y、y'、...、y^{(k-1)} y、y′、...、y(k−1)型例题
- 3.1.4 y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y''=f(y,y') y′′=f(y,y′)型的方程（含未知数 y y y，缺自变量 x x x）
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- 3.1.4.1 例题—— y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y''=f(y,y') y′′=f(y,y′)型例题
- 3.2 微分方程解法四——高阶线性微分方程
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- 3.2.1 二阶线性微分方程
- 3.2.2 二阶齐次方程的结构
- 3.2.3 二阶非齐次线性方程的解的结构
- 3.3 微分方程解法五——常系数齐次线性微分方程
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- 3.3.1 常系数齐次线性微分方程定义
- 3.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解
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- 3.3.2.1 两个不相等实根( Δ > 0 \Delta>0 Δ>0)
- 3.3.2.2 两个相等实根( Δ = 0 \Delta=0 Δ=0)
- 3.3.2.3 一对共轭复根( Δ < 0 \Delta<0 Δ<0)
- 3.3.3.4 公式总结
- 3.3.4 n阶常系数齐次线性微分方程的解
- 3.4 微分方程解法六——二阶常系数非齐次线性微分方程
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- 3.4.1 f ( x ) = e λ x P m ( x ) f(x)=e^{\lambda x}P_m(x) f(x)=eλxPm(x)型
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- 3.4.1.1 定义
- 3.4.1.2 例题
- 3.4.2 f ( x ) = e λ x [ P l ( x ) c o s ω x + P n ( x ) s i n ω ] f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)cos\omega x+P_n(x) sin\omega] f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinω]型
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- 3.4.2.1 求解公式
- 3.4.2.2 例题
- 3.4.2.3 生活中的应用
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