2025年连接波源、负载的传输线及其功率

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信号源的复数表示法

传输线的功率问题

输入阻抗的匹配

信号源的复数表示法

下图是传输线电路的一般形式，它包含一个源电压为 $V_{G}$
讯享网、阻抗为 $Z_{G}$ 的电压源。

传输线输入端电压，可以写成以下一般形式：

$V_{\mathrm{in}}=V_{\mathrm{in}}^{+}+V_{\mathrm{in}}^{-}=V_{\mathrm{in}}^{+}\left(1+\Gamma_{\mathrm{in}}\right)=V_{G}\left(\frac{Z_{\mathrm{in}}}{Z_{\mathrm{in}}+Z_{G}}\right)$

其中最后的表达式是根据分压定律得出。输入反射系数 $\Gamma_{\mathrm{in}}$ 是由波源向长度 d=l 的传输线方向观察得到的

$\Gamma_{\mathrm{in}}=\Gamma(d=l)=\frac{Z_{\mathrm{in}}-Z_{0}}{Z_{\mathrm{in}}+Z_{0}}=\Gamma_{0} e^{-2 j \beta l}$

其中 $\Gamma_{0}$ 是负载反射系数。

从负载反射的电压波向着波源传输，所以必须考虑传输线与波源阻抗之间的失配情况。若从传输线向波源观察，可以定义波源反射系数

$\Gamma _{S}=\frac{Z_{G}-Z_{0}}{Z_{G}+Z_{0}}$

与输入分反射系数 $\Gamma_{\mathrm{in}}$ 类似

$\Gamma_{\mathrm{out}}=\Gamma_{S} e^{-2 j \beta l}$

传输线的功率问题

根据时间的平均功率定义，

$P_{av}=\frac{1}{2}Re(VI^*)$

引入复数形式的输入电压

$V_{in}=V_{in}^{+}(1+\Gamma_{in})$

输入电流

$I_{in}=\frac{V_{in}^{+}}{Z_{0}}(1+\Gamma_{in})$

计算结果如下

$P_{\mathrm{in}}=P_{\mathrm{in}}^{+}+P_{\mathrm{in}}^{-}=\frac{1}{2} \frac{\left|V_{\mathrm{in}}^{+}\right|^{2}}{Z_{0}}\left(1-\left|\Gamma_{\mathrm{in}}\right|^{2}\right)$

可以发现功率也是由正、反传输的波构成。

这里来看一下对 $V_{in}^+$ 重写为如下形式

$V_{\mathrm{in}}^{+}=\frac{V_{\mathrm{in}}}{1+\Gamma_{\mathrm{in}}}=\frac{V_{G}}{1+\Gamma_{\mathrm{in}}}\left(\frac{Z_{\mathrm{in}}}{Z_{\mathrm{in}}+Z_{G}}\right)$

参考终端加载的无损耗传输线的输入方程中 $Z_{\text {in }}(d)=Z_{0} \frac{1+\Gamma(d)}{1-\Gamma(d)}$ ，将 $Z_{in}$ 改写为

$Z_{\text {in }}(d)=Z_{0} \frac{1+\Gamma_{in}}{1-\Gamma_{in}}$

根据 $\Gamma _{S}=\frac{Z_{G}-Z_{0}}{Z_{G}+Z_{0}}$ ，可得源阻抗为

$Z_{G}=Z_{0} \frac{1+\Gamma_{S}}{1-\Gamma_{S}}$

整理得

$V_{\mathrm{in}}^{+}=\frac{V_{G}}{2} \frac{\left(1-\Gamma_{S}\right)}{\left(1-\Gamma_{S} \Gamma_{\mathrm{in}}\right)}$

最终功率表达式

$P_{\mathrm{in}}=\frac{1}{8} \frac{\left|V_{G}\right|^{2}}{Z_{0}} \frac{\left|1-\Gamma_{S}\right|^{2}}{\left|1-\Gamma_{S} \Gamma_{\mathrm{in}}\right|^{2}}\left(1-\left|\Gamma_{\mathrm{in}}\right|^{2}\right)$

将 $\Gamma_{\mathrm{in}}=\Gamma_{0} e^{-2 j \beta l}$ 带入,可得无损耗传输线输入功率表达式

$P_{\mathrm{in}}=\frac{1}{8} \frac{\left|V_{G}\right|^{2}}{Z_{0}} \frac{\left|1-\Gamma_{S}\right|^{2}}{\left|1-\Gamma_{S} \Gamma_{\mathrm{0}}e^{-2j\beta l}\right|^{2}}\left(1-\left|\Gamma_{\mathrm{0}}\right|^{2}\right)$

由于传输线是呜损耗的，所以到达负载的功率等于输入功率。如果波源和负载的阻抗都与传输线相匹配( $\Gamma_{S}=0,\Gamma_{0}=0$ )。上式可简化为

$P_{in}=\frac{1}{8}\frac{|V_{G}|^2}{Z_{0}}=\frac{1}{8}\frac{|V_{G}|^2}{Z_{G}}$

如果负载阻抗 $Z_{L}$ 与传输线相匹配，而波源阻抗 $Z_{G}$ 与传输线不匹配，那么有些功率将会被反射，仅有最大资用功率的一部分从 d=l 处输入传输线中

$P_{in}=\frac{1}{8}\frac{|V_{G}|^2}{Z_{0}}|1-\Gamma_{S}|^2$

对于波源和负载的阻抗都不匹配的情况，传输线两端都将发生反射，此时只能用无损耗传输线输入功率表达式。

除了瓦特(W)之外，射频电路设计领域内广泛使用的功率单位是 dBm ，定义如下

$P[dBm]=10lg\frac{P}{1mW}$

也就是说，该单位是相对于1毫瓦度量的。

$10^{-7}mW=-70dBm$

例. 若无损耗传输线的 $Z_{0}=75\Omega,Z_{G}=50\Omega,Z_{0}=40\Omega$ ，求输入功率和传送到负载出的功率，答案用W和dBm表示，假设传输线长度为 $\lambda/2$ ，源电压 $V_{G}=5V$ 。

解：

传输线无损耗，传送到负载出的功率与输入功率完全相同。由于传输线长度为 $\lambda/2$ ， $e^{-2j\beta l}=e^{-2j(2\pi/\lambda)(\lambda/2)}=1$ 输入功率为

$P_{\mathrm{in}}=\frac{1}{8} \frac{\left|V_{G}\right|^{2}}{Z_{0}} \frac{\left|1-\Gamma_{S}\right|^{2}}{\left|1-\Gamma_{S} \Gamma_{\mathrm{0}}\right|^{2}}\left(1-\left|\Gamma_{\mathrm{0}}\right|^{2}\right)$

波源端反射系数

$\Gamma _{S}=\frac{Z_{G}-Z_{0}}{Z_{G}+Z_{0}}=-0.2$

负载处反射系数

$\Gamma_{0}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}=-0.304$

将 $\Gamma_{0},\Gamma_{S}$ 带入功率表达式可得

$P_{L}=P_{in}=61.7mW=17.9mW$

上面的分析可以推广到有损耗传输线。由于信号的衰减，输入功率不再等于负载功率。被负载吸收的功率可以表示为

$P_{\mathrm{L}}=\frac{1}{2} \frac{\left|V_{\mathrm{L}}^{+}\right|^{2}}{Z_{0}}\left(1-\left|\Gamma_{\mathrm{0}}\right|^{2}\right)$

其中有损耗传输线的电压 $|V_{L}^{+}|=|V_{in}^{+}|e^{-\alpha l}$ ， $\alpha$ 是损耗系数。

那么被负载吸收的功率最终表达式为

$P_{\mathrm{L}}=\frac{1}{8} \frac{\left|V_{G}\right|^{2}}{Z_{0}} \frac{\left|1-\Gamma_{S}\right|^{2}}{\left|1-\Gamma_{S} \Gamma_{\mathrm{in}}\right|^{2}}e^{-2\alpha l}\left(1-\left|\Gamma_{\mathrm{0}}\right|^{2}\right)$

此处，所有的参数都是用波源电压和反射系数定义的，且 $\Gamma_{in}=\Gamma_{0}e^{-2\gamma l}$ 。

输入阻抗的匹配

采用集中参数，可将式 $P_{\mathrm{in}}=\frac{1}{8} \frac{\left|V_{G}\right|^{2}}{Z_{0}} \frac{\left|1-\Gamma_{S}\right|^{2}}{\left|1-\Gamma_{S} \Gamma_{\mathrm{0}}e^{-2j\beta l}\right|^{2}}\left(1-\left|\Gamma_{\mathrm{0}}\right|^{2}\right)$ 表示为

$P_{\text {in }}=\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left\{V_{\text {in }}\left(\frac{V_{\text {in }}^{*}}{Z_{\text {in }}^{*}}\right)\right\}=\frac{1}{2} \frac{\left|V_{G}\right|^{2}}{\operatorname{Re}\left\{Z_{\text {in }}^{*}\right\}}\left|\frac{Z_{\text {in }}}{Z_{G}+Z_{\text {in }}}\right|^{2}$

假设波阻抗是复常数 $Z_{G}=R_{G}+jX_{G}$ .,可以导出对 $Z_{in}$ 的限制条件，以使传输线得到最大输入功率。将 $P_{in}$ 视为两个独立变量 $R_{in}$ 和 $X_{in}$ 的函数，通过求 $P_{in}$ 对 $R_{in}$ 和 $X_{in}$ 的一阶导数并令其为零的方法，可求出最大功率条件