有依赖的背包问题

大家好，我是讯享网，很高兴认识大家。

一、个人理解

有依赖的背包问题一般会有一定的限制条件，例如选择某一件的前提是选择了另一件物品，选第 i 件物品，就必须选择第 j 件物品，保证不会循环引用。

一般我们称呼不依赖于别的物品的物品为主件，依赖于某主件的物品称为附件

对于包含一个主件和若干个附件的结合由以下可能性：

1、仅选择主件

2、选择主件再选择一个附件

3、选择主件再选择两个附件

............

n、选择主件再选择全部的附件

对于有依赖的背包问题，一般采用树形DP来解决，对于某个子节点，需要依赖于其父节点

有依赖的背包问题一般会用到分组背包的知识分组背包

二、子物体体积集合划分

例题：

有 N 个物品和一个容量是 V的背包。

物品之间具有依赖关系，且依赖关系组成一棵树的形状。如果选择一个物品，则必须选择它的父节点。

讯享网

如果选择物品5，则必须选择物品1和2。这是因为2是5的父节点，1是2的父节点。

每件物品的编号是 i，体积是 vi，价值是 wi，依赖的父节点编号是 pi。物品的下标范围是 1…N。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品个数和背包容量。

接下来有 N行数据，每行数据表示一个物品。第 i 行有三个整数 vi,wi,pi，用空格隔开，分别表示物品的体积、价值和依赖的物品编号。
如果 pi=−1，表示根节点。 数据保证所有物品构成一棵树。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

1≤N,V≤100

1≤vi,wi≤100

父节点编号范围：

内部结点：1≤pi≤N

根节点 pi=−1

输入样例

5 7 2 3 -1 2 2 1 3 5 1 4 7 2 3 6 2

讯享网

输出样例：

讯享网11

时间复杂度：

O(N×V×V)

分析

从根节点开始递归，从叶子节点开始计算

闫氏DP分析法

f[i,j]:划分：表示以i为根节点，总体积不超过j的物品的价值

属性：max

状态计算：

1、for(int k=0;i<=j;k++)

分给子节点k的体积，根节点使用j-k的体积

AC代码（带注释）

#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int N=110; int n,m; int h[N],e[N],ne[N],idx; int v[N],w[N]; int f[N][N]; void add(int a,int b) { e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++; } void dfs(int u) { //分组背包 for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i])//枚举物品组 { int son=e[i]; dfs(son);//树形dp，要从叶子节点往上递归 for(int j=m-v[u];j>=0;j--) { /* 枚举体积，结点u必选，否则依赖于它的子孙节点无法选择， 所以枚举的最大体积要预留出一部分来存放v[u] */ for(int k=0;k<=j;k++)//枚举决策,枚举该子节点在体积j下能使用的所有可能体积数 { f[u][j]=max(f[u][j],f[u][j-k]+f[son][k]); /* 分给son结点k的体积来选择，然后u结点可用的体积为j-k */ } } } //加上u结点,从大往小加 for(int j=m-v[u];j>=0;j--) f[u][j+v[u]]=f[u][j]+w[u]; //清空没选u的状态 for(int j=0;j<v[u];j++) f[u][j]=0; } int main() { cin>>n>>m; int root;//根节点不一定，需找出 memset(h, -1, sizeof h); for(int i=1;i<=n;i++) { int p; cin>>v[i]>>w[i]>>p; if(p==-1) root=i; else { add(p,i);//i依赖于p } } dfs(root); cout<<f[root][m]; return 0; }

三、集合划分

例题：

金明的预算方案

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。

更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。

今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。

每个主件可以有0个、1个或2个附件。

附件不再有从属于自己的附件。

金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的N元。

于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5等：用整数1~5表示，第5等最重要。

他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是10元的整数倍）。

他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第j件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k件物品，编号依次为j1，j2，…，jk，则所求的总和为：

v[j1]∗w[j1]+v[j2]∗w[j2]+…+v[jk]∗w[jk]（其中*为乘号）

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

输入文件的第1行，为两个正整数，用一个空格隔开：N m，其中N表示总钱数，m为希望购买物品的个数。

从第2行到第m+1行，第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据，每行有3个非负整数v p q，其中v表示该物品的价格，p表示该物品的重要度（1~5），q表示该物品是主件还是附件。

如果q=0，表示该物品为主件，如果q>0，表示该物品为附件，q是所属主件的编号。

输出格式

输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（<）。

数据范围

N<32000,m<60,v<10000

输入样例：

讯享网1000 5 800 2 0 400 5 1 300 5 1 400 3 0 500 2 0