离散数学-函数

离散数学-函数

科技前沿 • 2025-03-03 23:46 • 阅读 52

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1、函数的概念

1）函数定义

定义：设 x ， y是集合，f是x到y的二元关系，若对每个x属于X，都有唯一的y属于Y，使得<x,y>属于f，则称f是x到y的函数或映射，记作：f：x -> y 或 F: X -> Y

x称为自变量或原象，y称为因变量或象

是否是函数的判定：
1）原象的任意性：x中的每个元素都有象，X定义域是整个x集合，也就是说每个定义域x都有对应的至于y
2）象的唯一性：每个x只有对应的一个唯一的y，也就是一一对应

2）函数性质

1）单射：对任意两个不同的x对应两个不同的y。也就是说一个x对应一个y
2）满射：若ranf = Y，称f为满射。即所有的值域y都有对应的定义域x
3）若f是单射又是满射，称f为双射或者一一对应

2、函数的运算

1)逆函数

一个函数有逆函数的前提：这个函数必须是双射（即满足单射和满射）
双射：x和y一一对应，y和x也是一一对应
1）f是x到y的双射函数，则f的逆关系f-1也满足双射函数
2）f是x到y的双射函数，称函数关系f-1为f的逆函数或者反函数，记作f-1（-1在右上角）
3）f是x到y的双射函数，则（f-1）-1 = f

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任意关系的逆关系必定存在
函数作为特殊的关系，逆关系未必是函数
因为函数关系满足：
1、x->y唯一
2、每个x都有y。·

2）复合函数

定于：f：x->y g: w -> z 若ranf属于domg，即函数f的值域是函数g的定义域，则称g对f的左符合，即<x,z>属于g(f(x))

注意：
g。f = g(f(x))
f。g =f(g(x))

函数幂运算：
f^2 = f。f
f^3 = f。f。f
…

恒等函数：{<x，x> | 所有x 属于X}称为恒等关系。