一、相关符号及概念的描述
1、比力 f ⃗ \vec{f} f（specific force）：单位质量上作用的非引力的外力，用公式表示为 f ⃗ = F ⃗ m \vec{f}=\frac{\vec{F}}{m} f=mF。在我的理解中，一直都把比力当作加速度计测量的加速度。
2、地心惯性系（i系）、地球坐标系(e系)、理想平台坐标系(T系，导航坐标系的无误差复现)
3、 R ⃗ \vec{R} R表示地心至T系的支点引的位置矢量，可以认为是地心至T系原点（即机体中心）的连线矢量。
4、 d R ⃗ d t ∣ i \frac{d\vec{R}}{dt}|_i dtdR∣i表示矢量 R ⃗ \vec{R} R相对于i系对时间的一阶导数，即机体相对于i系的速度。
5、 d R ⃗ d t ∣ e \frac{d\vec{R}}{dt}|_e dtdR∣e表示矢量 R ⃗ \vec{R} R相对于e系对时间的一阶导数，即机体相对于e系的速度，或者机体相对于地球的运动速度，即地速，记为 V ⃗ e T \vec{V}_{eT} VeT。
6、 ω ⃗ i e \vec{\omega}_{ie} ωie表示e系相对于i系的转动角速度，实际就是地球的自转角速度矢量，是一个常矢量。其他的矢量 ω ⃗ \vec{\omega} ω表示意义同理。
7、 m G ⃗ m\vec{G} mG表示质量 m m m所受地球的万有引力，方向指向地心。
8、 G ⃗ \vec{G} G表示引力加速度。
9、 m g ⃗ m\vec{g} mg表示质量 m m m所受的重力，方向垂直于地面向下。
10、 g ⃗ \vec{g} g表示重力加速度。
11、 F ⃗ c \vec{F}_c Fc表示维持质量 m m m跟随地球旋转的向心力，实质为万有引力分量。
二、公式铺垫
1、万有引力
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如图所示，显然：
m G ⃗ = m g ⃗ + F ⃗ c m\vec{G}=m\vec{g}+\vec{F}_c mG=mg+Fc
故
(1) G ⃗ = g ⃗ + a ⃗ c \tag{1} \vec{G}=\vec{g}+\vec{a}_c G=g+ac(1)
2、加速度
设平台上加速度计质量块的质量为 m m m，其受到的力为非引力外力 F ⃗ \vec{F} F和地球引力 m G ⃗ m\vec{G} mG，根据牛顿第二定律：
F ⃗ + m G ⃗ = m d 2 R ⃗ d t 2 ∣ i \vec{F}+m\vec{G}=m\frac{d^2\vec{R}}{dt^2}|_i F+mG=mdt2d2R∣i
所以：
(2) d 2 R ⃗ d t 2 ∣ i = f ⃗ + G ⃗ \tag{2} \frac{d^2\vec{R}}{dt^2}|_i=\vec{f}+\vec{G} dt2d2R∣i=f+G(2)
三、比力方程的推导
通过公式 ( 2 ) (2) (2)可以看出，表示出比力 f ⃗ \vec{f} f必须要求得 d 2 R ⃗ d t 2 ∣ i \frac{d^2\vec{R}}{dt^2}|_i dt2d2R∣i和 G ⃗ \vec{G} G。首先求 d 2 R ⃗ d t 2 ∣ i \frac{d^2\vec{R}}{dt^2}|_i dt2d2R∣i，即机体相对于i系的加速度，我们首先求机体相对于i系的速度 d R ⃗ d t ∣ i \frac{d\vec{R}}{dt}|_i dtdR∣i。
根据哥氏定理可得：
d R ⃗ d t ∣ i = d R ⃗ d t ∣ e + ω ⃗ i e × R ⃗ \frac{d\vec{R}}{dt}|_i=\frac{d\vec{R}}{dt}|_e+\vec{\omega}_{ie}×\vec{R} dtdR∣i=dtdR∣e+ωie×R
即：
(3) d R ⃗ d t ∣ i = V ⃗ e T + ω ⃗ i e × R ⃗ \tag{3} \frac{d\vec{R}}{dt}|_i=\vec{V}_{eT}+\vec{\omega}_{ie}×\vec{R} dtdR∣i=VeT+ωie×R(3)
注：对于哥氏定理不清楚的可以参考006哥氏定理.
再次解释一下，该公式表示：机体相对于i系的速度等于机体相对于e系的速度加上牵连点的速度。
对上式再次求导，可得：
(4) d 2 R ⃗ d t 2 ∣ i = d d t ∣ i ( V ⃗ e T + ω ⃗ i e × R ⃗ ) = d V ⃗ e T d t ∣ i + d d t ∣ i ( ω ⃗ i e × R ⃗ ) \tag{4} \frac{d^2\vec{R}}{dt^2}|_i =\frac{d}{dt}|_i(\vec{V}_{eT}+\vec{\omega}_{ie}×\vec{R}) =\frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_i+\frac{d}{dt}|_i(\vec{\omega}_{ie}×\vec{R}) dt2d2R∣i=dtd∣i(VeT+ωie×R)=dtdVeT∣i+dtd∣i(ωie×R)(4)
公式 ( 4 ) (4) (4)右边第一部分再次利用哥氏定理得：
d V ⃗ e T d t ∣ i = d V ⃗ e T d t ∣ T + ω ⃗ i T × V ⃗ e T \frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_i=\frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_T+\vec{\omega}_{iT}×\vec{V}_{eT} dtdVeT∣i=dtdVeT∣T+ωiT×VeT
其中， ω ⃗ i T = ω ⃗ i e + ω ⃗ e T \vec{\omega}_{iT}=\vec{\omega}_{ie}+\vec{\omega}_{eT} ωiT=ωie+ωeT，这表示T系相对于i系的角速度等于e系相对于i系的角速度与T系相对于e系角速度之和。
即：
(5) d V ⃗ e T d t ∣ i = d V ⃗ e T d t ∣ T + ( ω ⃗ i e + ω ⃗ e T ) × V ⃗ e T = d V ⃗ e T d t ∣ T + ω ⃗ i e × V ⃗ e T + ω ⃗ e T × V ⃗ e T \tag{5} \frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_i=\frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_T+(\vec{\omega}_{ie}+\vec{\omega}_{eT})×\vec{V}_{eT} =\frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_T+\vec{\omega}_{ie}×\vec{V}_{eT}+\vec{\omega}_{eT}×\vec{V}_{eT} dtdVeT∣i=dtdVeT∣T+(ωie+ωeT)×VeT=dtdVeT∣T+ωie×VeT+ωeT×VeT(5)
公式(4)右边第二部分：
由于 ω ⃗ i e \vec{\omega}_{ie} ωie是一个常矢量，所以可得：
d d t ∣ i ( ω ⃗ i e × R ⃗ ) = ω ⃗ i e × d d t ∣ i ( R ⃗ ) = ω ⃗ i e × d R ⃗ d t ∣ i \frac{d}{dt}|_i(\vec{\omega}_{ie}×\vec{R})=\vec{\omega}_{ie}×\frac{d}{dt}|_i(\vec{R})=\vec{\omega}_{ie}×\frac{d\vec{R}}{dt}|_i dtd∣i(ωie×R)=ωie×dtd∣i(R)=ωie×dtdR∣i
将公式 ( 3 ) (3) (3)代入可得：
(6) d d t ∣ i ( ω ⃗ i e × R ⃗ ) = ω ⃗ i e × ( V ⃗ e T + ω ⃗ i e × R ⃗ ) = ω ⃗ i e × V ⃗ e T + ω ⃗ i e × ( ω ⃗ i e × R ⃗ ) \tag{6} \frac{d}{dt}|_i(\vec{\omega}_{ie}×\vec{R})=\vec{\omega}_{ie}×(\vec{V}_{eT}+\vec{\omega}_{ie}×\vec{R})=\vec{\omega}_{ie}×\vec{V}_{eT}+\vec{\omega}_{ie}×(\vec{\omega}_{ie}×\vec{R}) dtd∣i(ωie×R)=ωie×(VeT+ωie×R)=ωie×VeT+ωie×(ωie×R)(6)
将公式 ( 5 ) (5) (5)和公式 ( 6 ) (6) (6)代入公式 ( 4 ) (4) (4)可得：
d 2 R ⃗ d t 2 ∣ i = d V ⃗ e T d t ∣ T + ω ⃗ i e × V ⃗ e T + ω ⃗ e T × V ⃗ e T + ω ⃗ i e × V ⃗ e T + ω ⃗ i e × ( ω ⃗ i e × R ⃗ ) \frac{d^2\vec{R}}{dt^2}|_i =\frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_T+\vec{\omega}_{ie}×\vec{V}_{eT}+\vec{\omega}_{eT}×\vec{V}_{eT}+\vec{\omega}_{ie}×\vec{V}_{eT}+\vec{\omega}_{ie}×(\vec{\omega}_{ie}×\vec{R}) dt2d2R∣i=dtdVeT∣T+ωie×VeT+ωeT×VeT+ωie×VeT+ωie×(ωie×R)
(7) = d V ⃗ e T d t ∣ T + ( 2 ω ⃗ i e + ω ⃗ e T ) × V ⃗ e T + ω ⃗ i e × ( ω ⃗ i e × R ⃗ ) \tag{7} =\frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_T+(2\vec{\omega}_{ie}+\vec{\omega}_{eT})×\vec{V}_{eT}+\vec{\omega}_{ie}×(\vec{\omega}_{ie}×\vec{R}) =dtdVeT∣T+(2ωie+ωeT)×VeT+ωie×(ωie×R)(7)
将公式(2)代入公式(7)可得：
f ⃗ + G ⃗ = d V ⃗ e T d t ∣ T + ( 2 ω ⃗ i e + ω ⃗ e T ) × V ⃗ e T + ω ⃗ i e × ( ω ⃗ i e × R ⃗ ) \vec{f}+\vec{G} =\frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_T+(2\vec{\omega}_{ie}+\vec{\omega}_{eT})×\vec{V}_{eT}+\vec{\omega}_{ie}×(\vec{\omega}_{ie}×\vec{R}) f+G=dtdVeT∣T+(2ωie+ωeT)×VeT+ωie×(ωie×R)
即：
(8) d V ⃗ e T d t ∣ T = f ⃗ − ( 2 ω ⃗ i e + ω ⃗ e T ) × V ⃗ e T + G ⃗ − ω ⃗ i e × ( ω ⃗ i e × R ⃗ ) \tag{8} \frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_T=\vec{f}-(2\vec{\omega}_{ie}+\vec{\omega}_{eT})×\vec{V}_{eT}+\vec{G}-\vec{\omega}_{ie}×(\vec{\omega}_{ie}×\vec{R}) dtdVeT∣T=f−(2ωie+ωeT)×VeT+G−ωie×(ωie×R)(8)
下面还要看一个图：
在这个图中，动点为S，矢量 R ⃗ \vec{R} R如上文定义。
角速度 ω ⃗ i e \vec{\omega}_{ie} ωie方向如图所示。
这样，根据右手规则，线速度 ω ⃗ i e × R ⃗ \vec{\omega}_{ie}×\vec{R} ωie×R如图所示（搞错线速度方向的同学请注意两矢量的方向）。
那么 ω ⃗ i e × ( ω ⃗ i e × R ⃗ ) \vec{\omega}_{ie}×(\vec{\omega}_{ie}×\vec{R}) ωie×(ωie×R)得到向心加速度，根据右手法则方向指向地轴。
令：
(9) a ⃗ c = ω ⃗ i e × ( ω ⃗ i e × R ⃗ ) \tag{9} \vec{a}_c=\vec{\omega}_{ie}×(\vec{\omega}_{ie}×\vec{R}) ac=ωie×(ωie×R)(9)
将 ( 9 ) (9) (9)代入 ( 8 ) (8) (8)得：
(10) d V ⃗ e T d t ∣ T = f ⃗ − ( 2 ω ⃗ i e + ω ⃗ e T ) × V ⃗ e T + G ⃗ − a ⃗ c \tag{10} \frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_T=\vec{f}-(2\vec{\omega}_{ie}+\vec{\omega}_{eT})×\vec{V}_{eT}+\vec{G}-\vec{a}_c dtdVeT∣T=f−(2ωie+ωeT)×VeT+G−ac(10)
再将 ( 1 ) (1) (1)代入 ( 10 ) (10) (10)得：
d V ⃗ e T d t ∣ T = f ⃗ − ( 2 ω ⃗ i e + ω ⃗ e T ) × V ⃗ e T + g ⃗ \frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_T=\vec{f}-(2\vec{\omega}_{ie}+\vec{\omega}_{eT})×\vec{V}_{eT}+\vec{g} dtdVeT∣T=f−(2ωie+ωeT)×VeT+g
该公式即为比力方程。关于比力方程就不再多做介绍。
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