2025年集合论知识总结——集合及其运算

大家好，我是讯享网，很高兴认识大家。

第一章集合及其运算

§1 集合的基本概念

§2 子集、集合的相等

§3 集合的基本运算

§4 余集运算

§5 笛卡儿乘积

§6 有限集合的基数

第一章集合及其运算

§1 集合的基本概念

一般地，把一些确定的，可以区分的事物放在一起组成一个整体称为集合，简称集。

集合的特点：1.任意性(不能说所有集合的集合)；2.不能重复；3.无序性；4.确定性。

三个原始概念：集合、元素、属于 $\in$
讯享网。

空集和全集：不含任何元素的集合称为空集，记为 $\o$ ¢。符号化表示为：¢={x|x≠x}

在给定的问题中，所考虑的所有事物的集合称为全集，记为S。符号化表示为：S={x|x=x}

单元集：仅含有一个元素的集合称为单元集。

注意：｛x｝与x的区别。 x——元素，｛x｝——集合。

§2 子集、集合的相等

子集：设A,B是两个集合，若集合A中的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集合简称子集，这时也说A包含在B里。A是B的子集记为 $A\subseteq B$ (或B包含着A)。

$A\subseteq B\Leftrightarrow \forall x \in A, x\in B$ 。等价地有： $A\subseteq B\Leftrightarrow$ 不在中的元素必不在中。

集合不包含:若A不是B的子集，则记为A⊈B (A不包含在B里)

$A\nsubseteq B\Leftrightarrow \exists x \in A, x\notin B$

真包含：设A,B为两个集合，若 $A\subseteq B$ 且 $\exists x \in B, x\notin A$ ，则称A是B的真子集，记为A⊂B。 $A\subset B\Leftrightarrow A\subseteq B ,\exists x \in B, x\notin A$ 。集合真包含等价形式： $A\subset B\Leftrightarrow A\subseteq B ,A\neq B$