测量平差期末考试总结

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总结

误差来源（误差原因）：测量仪器、观测者、外界条件。

误差分类：

1.偶然误差：误差在大小和符号上都表现出偶然性，但就大量误差的总体而言，有一定的统计规律，是观测结果忽大忽小忽正忽负。可以通过平差进行消除，得到观测值的**估值。

2.系统误差：误差在大小和符号上都表现出系统性，按一定的规律变化，对观测结果的影响具有累积作用，可通过改变观测方法，或者对数据进行预处理消除。

3.粗差：通常为比正常观测下出现的误差还要大一级别的误差，对结果产生比较大的影响。可通过数据预处理进行识别、消除或剔除不用。

$平差值：\hat{L}=L+V(观测值+改正数)$

衡量精度的指标：

方差和中误差：

$\sigma^2=E(\varDelta^2)=\frac{\Sigma^n_{i=1}\Delta_i^2}{n}（实际工作中可能除以n-1）, \sigma, when~E(\varDelta=0)$ ，

单位权中误差： $\sigma^2_0=\frac{\Sigma^n_{i=1}p_i\Delta_i^2}{n}$

平均误差： $\theta=E(|\varDelta|)$ ，[绝对值的均值]

或然误差：

极限误差: $3\sigma/2\sigma$ ，

相对误差：真误差与观测值之比， $\frac{\sigma}{L}$ ,分子一般取一，写成分数的形式

精度：描述误差分布的密集或离散的程度(在数学期望附近的分散程度)。协方差阵或互协方差阵。

准确度：衡量系统误差的大小。 $\varepsilon=\widetilde{X}-E(X)$ , 即E(X)的真误差，也是X的系统误差。

精确度：精度与准确度的合成（在真值附近的分散程度），表示与真值的接近程度，而真值往往是不得而知的。

$MSE(X)=E(X-\widetilde{X})^2=\sigma^2+\varepsilon^2.$ 。

测量数据的不确定性：广义的误差=数值上可度量的误差（系统误差、偶然误差）+ 数值上不可度量的误差

协方差传播律：

1.观测值线性函数的方差

2.多个观测值线性函数的协方差阵

3.非线性函数，特殊情况：两两独立时， $D_{zz}=\sigma_{z}^2=k_1\sigma_1^2+k_2\sigma_2^2+...+k_n\sigma_n^2$ .

协方差传播律“四步法”：

1.写出函数关系式。

2.对函数式进行全微分。（写出观测量的协方差阵）

3.将微分关系写为矩阵形式

4.应用协方差传播律

闭合差的分配：W前一定是负号，表示相反方向， $\hat{L}=L-aW(a为闭合差分配系数)$

水准测量的精度： $\sigma_{h_{AB}}=\sqrt{N}\sigma_站$ ， $\sigma_{h_{AB}}=\sqrt{S}\sigma_{公里}$ 。

同精度n个独立观测值的算数平均值x的精度： $\sigma_x^2=\frac{\sigma^2}{n}$ ，独立时满足误差传播律

权： $p_i=\frac{\sigma_0^2}{\sigma_i^2}$ .

水准测量定权： $p_i=\frac{C}{N_i}$ (按测站数定权), $p_i=\frac{C}{S_i}$ （按距离定权）

同精度观测值的平均值的权： $p_i=\frac{N_i}{C},\:\sigma_i^2=\frac{\sigma^2}{N_i},\:\sigma_0^2=\frac{\sigma^2}{C}$ ,

双观测值之差计算中误差：
1.两次观测的差值： $d_i=L'_i-L''_i$

2.单位权中误差： $\sigma_0=\sqrt{\frac{\Sigma{p_id_i^2}}{2n}}$ ,

3.中误差： $\sigma_{L'_i}=\sigma_{L''_i}=\sigma_0\sqrt{\frac{1}{p_i}}$

协因数（权倒数），协因数阵： $D_{xx}=\sigma_0^2Q_{xx}$ 。

权阵： $P_{xx}=Q_{xx}^{-1}$ ，

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条件方程：多余观测由其他必要观测表示的函数关系式（关于真值的关系，真值=观测值+改正数）

测量平差的主要任务：如何对观测值加上合理的改正数，以达到消除闭合差的目的。

测量平差的研究对象：观测误差

函数模型：是描述观测量（已知量）与未知量间的数学函数关系的模型。

随机模型：是描述方差和协方差之间的传播关系

测量平差的目的：是为了最优化估计函数模型的未知量。

条件平差：未知量为待观测量的真值（ $\tilde{L}$ ）,列条件方程———个数为r（多余观测数）

间接平差：未知量为t个独立参数 $\tilde{X}$ （t为必要观测数），列观测方程——个数为n（总观测数）

条件方程：（用改正数来表示，即 $A V + W = 0$ ）

水准网必要观测数t：当有已知点时，t=未知点个数；无已知点时，t=未知点个数-1

测角网条件方程：

必要观测数 $t = 2 * (m - 2)$ 。图形条件，内角和条件；圆周条件（对于中点多边形而言），水平条件；极条件，边长条件（非线性到线性的变化）。

三角形（多余观测数：1）；大地四边形（4：一极条件）；中点多边形（边+2：一圆周条件+一极条件）。

测边网条件方程：

利用角度闭合法，先利用观测边长求出角度，然后列出角度间的关系（图形条件），在把角度代换回边长。即列出以边长改正数表示的图形条件方程。

三角形（0）；大地四边形（1）；中点多边形（1）

以坐标为观测值的条件方程。

协因数阵的计算

平差值函数的中误差：平差值函数（ $F(\hat{L})$ ）的全微分即为权函数式。

间接平差：

AB=0

参数函数的中误差：参数函数（ $F(\hat{X})$ ）的全微分即为权函数式。

偶然误差的统计特性：

1.有界性： $|\Delta<\infty|$

2.单峰性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大，

$P(|\Delta_1|)<P(|\Delta_2|), if\ |\Delta_1|>|\Delta_2|$

3.对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等， $P(|\Delta|)=P(-|\Delta|)$ ，

4.抵偿性：偶然误差的期望为0， $E(\Delta)=0$ .

衡量观测量精度的指标？

观测量误差落在一倍、二倍、三倍中误差范围内的概率各是：

$P(-\sigma<\Delta<\sigma)=0.683， P(-2\sigma<\Delta<2\sigma)=0.955， P(-3\sigma<\Delta<3\sigma)=0.997$ .

条件平差和间接平差中求平差值的计算步骤？

枚举条件平差和间接平差中的基本向量： $L,W,K,V,\hat{L}$ ; $L,\hat{X},V,\hat{L}$ .

分别推导两种平差方法的 $\hat{L}$ 的协因数阵？

椭圆误差：

1.P点的点位方差：开根号即为点位位差

2.P点在任意方向的点位方差：

3.位差极值方向的确定： $\varphi_E, \varphi_F, \varphi_0$

4.位差的极大值、极小值的计算： $E ， F$ ，先求协因数再求方差或位差

5.用 $E, F$ 表示的任意方向 $\Psi$ 的位差：和2的区别和相同之处？

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