2025年【线性代数】向量的乘法运算

科技前沿 • 2025-01-18 23:10 • 阅读 47

大家好，我是讯享网，很高兴认识大家。

最近把向量乘法运算搞混了，故而温习一下。

内容主要来自以下两个文档

向量的乘法运算,长于举例丰富,形象生动
向量的乘法,长于公式性质列举完整

0. 综述

常用的,

a·b=||a||||b||cosθ, 这个是向量的内积，又叫数量积，又叫点积。
axb = ||a||||b||sinθ，这个是向量的外积，又叫向量积，又叫叉积。
[a b c] = (axb)·c , 这个是向量的混合积。

1. 内积

1.1 定义

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1.2 向量内积性质

注意，向量内积不满足结合律，即一般情况下 (a·b)·c != a·(b·c), 因为向量的内积结果是一个标量。

1.3 向量内积的物理意义

向量内积的物理意义是，力通过位移做功。

1.4 向量内积的用途

1.4.1 求两个非零向量的夹角

1.4.2 判断两个非零向量是否垂直

简单的对应坐标相乘再求和，结果为0就垂直，否则就不垂直。

2. 外积

2.1 向量外积的定义

向量外积的结果是垂直于原向量所定义平面的向量。

通过坐标进行外积的直接计算比较复杂，写成行列式的形式，再展开，方便记忆。

2.2 向量外积的性质

2.3 向量外积的几何意义

再除以2的话，就是以 a，b 为边的三角形的面积。

2.4 向量外积的用途

2.4.1 求与三角形面积相关的问题

3. 混合积

3.1 向量混合积的定义

三个向量，先外积后内积，最后出个标量结果，就是三个向量的混合积。

混合积的坐标表达式非常规整优美。

3.2 混合积的性质

3.3 混合积的几何意义

3.4 混合积的用途

3.4.1 求四面体体积相关

3.4.2 判断三个向量共面