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流估计

主要概念：

1. 亮度08好恒定方程
2. 孔径问题
3. Lucas-Kanade算法

回顾：由于自身运动产生的场

流（Flow）：

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旋转分量不依赖于场景结构。平移分量随场景 Z 值的变化而变化。也就是说，它显示出运动视差（parallax）。

特例：纯平移

为了更好地理解流场是什么样子，让我们只考虑纯平移运动的情况。

然后，在场景中通过平行速度矢量的投影形成流

特例1：纯平移

假设 Tz 不等于 0

定义：

假如 Tz = 0 则

所有运动场矢量彼此平行，并且与深度成反比！（与简单的立体视觉联系起来）

此情况下的运动场是径向的：

1. 它由通过 po=（xo，yo）的向量组成
2. 假如：
   1）Tz > 0 (相机向物体移动)
   向量远离po
   po是扩展点 POINT OF EXPANSION
   2）Tz < 0 (相机远离物体)
   向量指向po
   po是收缩点 POINT OF CONTRACTION

纯旋转：运动场的性质

假如 Tz 不等于0，则运动场是径向的，所有向量都指向（或远离）单个点po。如果Tz＝0，则运动场是平行的。

运动场向量的长度与深度Z成反比。如果Tz≠0，它也与p和po之间的距离成正比

po是平移方向的灭点（vanishing point）

po是平行于平移向量的光线与图像平面的交点

运动场Motion Field和光流Optic Flow

运动场：三维相对速度矢量在二维图像平面上的投影

光流：在图像中观察到的亮度模式（brightness patterns）的二维位移

运动场是我们想知道的。
光流是我们可以估计的。

注意：光流不等于运动场

考虑一个移动的光源：

MF=0，因为场景中的点没有移动

OF不等于0，因为图像中存在移动模式

用OF近似MF

不过，我们将估计 OF（因为 MF 不能被真正观察到！）。

为了避免由于改变光照而产生的视在流（apparent flow），假设移动对象的视在亮度（apparent brightness）保持不变。

亮度恒定方程

考虑场景点在图像序列中移动

假设：它的亮度/颜色将保持不变（部分原因是我们可以认识到它是同一点）

两边同时对 t 求导

使用链式法则

空间梯度，我们可以计算

光流，我们希望得到的

帧间导数。也是知道的，例如帧差

可以写为

光流被限制在一条线上！（方程是 a u+b v+c=0 这样的形式）

意义

直觉上，这个约束意味着

– 梯度方向的光流部分是被确定的（称为垂直光流）

– 平行于边缘的光流部分是未知的

孔径问题 The Aperture Problem

图像亮度恒定假设只提供空间图像梯度方向上的OF分量

另一个例子是理发杆错觉。

考虑一个点

光流不等于运动流

孔径问题再一次提醒我们光流和运动流是不一样的

1. 在边缘附近，我们只能观察（测量）垂直于边缘的光流分量
2. 不能够测量平行于边缘的光流分量
3. 光流不可观测的另一个例子是在恒定灰度的区域。没有观察到流。

计算光流

计算光流的算法有两种形式：

1. 差分方法
   在所有像素上的图像亮度基于空间和时间的变化。
   用于计算稠密光流
2. 匹配方法
   类似于立体特征匹配，计算视差
   用于计算稀疏光流

一种差分方法：恒定光流，也就是Lucas-Kanade光流

Lucas-Kanade光流动机

我们需要两个或者更多的像素去解决
由于孔径问题，我们希望包括不同梯度方向的像素。

解决孔径问题

使用两个或多个方向的梯度

如何为一个像素得到更多的方程?

• 基本思想：引入额外的约束

  • 最常见的是假设流场是局部平滑的（假设某一个窗口内的像素具有相同的运动）

Lucas-Kanade 光流

我们有比未知数更多的方程：解最小二乘问题，也就是：

对 K×K 窗口内的所有像素求和得到

可解的条件

最优（u，v）满足Lucas-Kanade方程

什么时候有解？

1. ATA应该是可逆的
2. 由于噪声，ATA不应该太小

   – ATA 的特征值 λ1 和 λ2 不应该太小

3. ATA应该 well-conditioned

   – λ1 / λ2 不应该太大（λ1 是较大的特征值）

ATA看起来相似？

观察矩阵：

Harris角点检测矩阵

回顾：Harris角点检测算子

在 Lecture 6，我们通过考虑偏移灰度图像块的SSD导出了Harris角点检测算子

结合Harris进行运动分析

之前这里是单帧的空间偏移。现在是一段时间内两帧之间的位移。

当前帧

前一帧

边缘，大的梯度， λ1 大，λ2 小 ——将会有孔径问题

纹理弱（平坦）的区域，梯度的幅值小，λ1 小，λ2 小——Ill-conditioned 矩阵，可能计算垃圾答案

角点，梯度在各个方向上是不同的并且具有较大的幅值，λ1 大，λ2 大——很好的角点特征。也是估计光流的好地方！

意义

• 角点是当 λ1 和 λ2 都较大时；这也是 Lucas-Kanade 光流最有效的时候。

• 角点是具有（至少）两个不同梯度方向的区域。

• 角点处的孔径问题是会消失的。

• 角点是计算光流的好地方！

基于特征点的方法

稀疏光流的特征匹配

基本思想：
在第一幅图像中找到角点（因为角点是估计光流的好区域）
在第二幅图像中搜索对应的灰度图像块

KLT算法

http://www.ces.clemson.edu/~stb/klt/

通过2帧或更多帧图像跟踪角点特征

KLT算法

1. 在第一幅图像中找到角点
2. 提取每个角点处的灰度图像块
3. 用 Lucas-Kanade 算法估计图像块像素的恒定位移

细节：

1. 运用迭代和多分辨率来处理大运动
2. 亚像素位移估计（双线性插值变换）
3. 可以通过整个帧序列跟踪特征点
4. 具备旧的特征点“丢失”时添加新特征点的能力

基于互相关性的匹配

另一种方法是使用互相关性（correlation）或 NCC 来匹配灰度图像块。（之前有讨论过）

1. 在第一幅图像中找到角点
2. 提取每个角点处的灰度图像块
3. 使用 NCC 计算第二幅图像中搜索窗口内的匹配分数
4. 识别最高得分（**匹配）

关于效率的重要说明

一幅图像中给定的图像块

我们不想在第二张图片中到处搜索匹配块。

在立体视觉中我们有一个极线约束

关于使用归一化互相关的说明

如果我们使用归一化互相关性来匹配特征块，我们可以放松（relax）恒定亮度假设！

因此，我们可以消除了一些潜在的误差源（光照或摄像机增益的变化）

另一个基于互相关性的算法

Due to David Nister, “Visual Odometry”, CVPR 2004

观察：一张图片中的角点在短时间内倾向于停留在角点上

因此，我们只需要匹配角点到角点

Nister 的算法

1. 在第一幅图像中找到角点
2. 在第一幅图像中提取每个角点处的灰度图像块
3. 在第二幅图像中找到角点
4. 在第二幅图像中提取每个角点处的灰度图像块
5. 找到匹配对 (c1, c2)
   • C1 是图像1的一个角点块
   • C2 是图像2的一个角点块
   • C2 是 C1 的**匹配
   • C1 是 C2 的**匹配 ——为什么还要这么做？因为这是线性分配问题 (linear assignment problem) 的近似解——你会得到更好的匹配。

线性分配问题Linear Assignment Problem

又被称为婚姻问题“Marriage Problem”

最简单的形式：
1） 给定 k 个男孩和 k 个女孩
2） 让每个男孩按希望和其结婚程度给女孩排序
3） 让每个女孩也给男孩排序
4） 婚姻问题决定了男孩和女孩的配对，使总体配对排名之和最大化

说明：一般来说，你可能得不到你最想要的配偶，但平均来说，你几乎不会得到最不想要的。

线性分配问题Linear Assignment Problem

LAP的最优解对于实时特征匹配/跟踪来说计算量太大。

因此，我们使用一个启发式的解决方案，其中特征只有在彼此最匹配的情况下才能配对（即，男孩-女孩匹配对中彼此都将对方排序为第一）

这会丢弃掉很多潜在有用的得分匹配对，但剩下的通常都很好。